2010年河南高三备考套数学压轴题试卷

一、解答题

• 1．已知a∈R，函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  a

  x

  +

  lnx

  -

  1

  ，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
  （1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
  （2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：415引用：44难度：0.5

  解析

• 2．已知线段

  CD

  =

  2

  3

  ，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
  （1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；
  （2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．
  组卷：30引用：6难度：0.5

  解析

• 3．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  1

  -

  x

  （

  0

  ＜

  x

  ＜

  1

  ）

  的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：

  a

  1

  =

  1

  2

  ，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x）的图象在点（n,f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
  （1）求数列{a_n}的通项公式；
  （2）若数列

  {

  b

  n

  a

  2

  n

  -

  λ

  a

  n

  }

  ；的项中仅

  b

  5

  a

  2

  5

  -

  λ

  a

  5

  最小，求λ的取值范围；
  （3）令函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  [

  f

  -

  1

  （

  x

  ）

  +

  f

  （

  x

  ）

  ]

  -

  1

  -

  x

  2

  1

  +

  x

  2

  ，0＜x＜1．数列{x_n}满足：

  x

  1

  =

  1

  2

  ，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．证明：

  （

  x

  1

  -

  x

  2

  ）

  2

  x

  1

  x

  2

  +

  （

  x

  2

  -

  x

  3

  ）

  2

  x

  2

  x

  3

  +

  …

  +

  （

  x

  n

  +

  1

  -

  x

  n

  ）

  2

  x

  n

  x

  n

  +

  1

  ＜

  2

  +

  1

  8

  ．
  组卷：119引用：7难度：0.1

  解析

• 4．已知f（x）=ax-lnx,x∈（0，e）其中e是自然常数，a∈R．
  （1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；
  （2）是否存在实数a,使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
  组卷：52引用：10难度：0.1

  解析

• 5．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  上的两点，已知向量

  m

  =（

  x

  1

  b

  ，

  y

  1

  a

  ），

  n

  =（

  x

  2

  b

  ，

  y

  2

  a

  ），若

  m

  •

  n

  =0且椭圆的离心率e=

  3

  2

  ，短轴长为2，O为坐标原点．
  （Ⅰ）求椭圆的方程；
  （Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
  组卷：239引用：16难度：0.5

  解析

• 6．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．
  （Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
  （Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
  （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，

  c

  n

  =

  1

  a

  n

  +

  1

  -

  1

  a

  n

  +

  1

  -

  1

  ，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-

  1

  2

  ．
  组卷：355引用：15难度：0.1

  解析

一、解答题

• 17．，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x,y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，数列{a_n}满足a₁=4，

  f

  （

  lo

  g

  3

  -

  a

  n

  +

  1

  4

  ）

  f

  （

  -

  1

  -

  lo

  g

  3

  a

  n

  4

  ）

  =

  1

  （n∈N^*）．
  （1）求数列{a_n}的通项公式；
  （2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与6n²-2的大小．
  组卷：43引用：2难度：0.5

  解析

• 18．已知抛物线C₁：y²=4x的焦点与椭圆C₂：

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  b

  =

  1

  的右焦点F₂重合，F₁是椭圆的左焦点．
  （1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），点C在抛物线y²=4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；
  （2）若P是抛物线C₁与椭圆C₂的一个公共点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值及△PF₁F₂的面积．
  组卷：63引用：7难度：0.1

  解析