2023-2024学年上海市杨浦区控江中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

• 1．不等式

  x

  -

  2

  x

  +

  1

  ＜0解集为

  ．
  组卷：335引用：10难度：0.5

  解析

• 2．函数y=lg（x²-5x+4）的定义域为

  ．
  组卷：66引用：4难度：0.8

  解析

• 3．复数

  2

  +

  4

  i

  1

  +

  i

  的虚部是

  ．
  组卷：236引用：4难度：0.9

  解析

• 4．已知a为实数．若关于x的方程x²-4x+a=0有一个根为2+i（其中i为虚数单位），则a的值为

  ．
  组卷：33引用：2难度：0.8

  解析

• 5．已知a为实数，若数据1，2，a,6的平均数为3，则这组数据的标准差为

  ．
  组卷：44引用：2难度：0.7

  解析

• 6．若tan（α+β）=3，

  tan

  （

  α

  +

  π

  4

  ）

  =

  -

  3

  ，则

  tan

  （

  β

  -

  π

  4

  ）

  的值为

  ．
  组卷：148引用：2难度：0.5

  解析

• 7．已知a为实数．若y=f（x）是定义在R上的偶函数，且它在区间[0，+∞）上是严格增函数，则使得f（a）≥f（3）成立的a的取值范围是

  ．
  组卷：47引用：2难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

• 20．已知k为实数，

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  si

  n

  2

  （

  π

  4

  +

  x

  ）

  -

  k

  •

  cos

  2

  x

  ．
  （1）若k=0，求关于x的方程f（x）=1在[0，π]上的解；
  （2）若

  k

  =

  3

  ，求函数y=f（x），x∈R的单调减区间；
  （3）已知a为实数且

  k

  =

  3

  ，若关于x的不等式|f（x）-a|＜2在

  x

  ∈

  [

  π

  4

  ，

  π

  2

  ]

  时恒成立，求a的取值范围．
  组卷：74引用：4难度：0.5

  解析

• 21．已知实数a＞0，设

  f

  （

  x

  ）

  =

  -

  2

  3

  a

  x

  3

  +

  x

  2

  ．
  （1）若a=3，求函数y=f（x），x∈R的图象在点（1，-1）处的切线方程；
  （2）若

  a

  =

  1

  3

  ，求函数y=f（x），x∈（2，+∞）的值域；
  （3）若对于任意的x₁∈（2，+∞），总存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，求a的取值范围．
  组卷：109引用：3难度：0.3

  解析