2021-2022学年江苏省常州市高二（下）期末数学试卷

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（　　）

  A．6

  B．12

  C．24

  D．48
  组卷：137引用：2难度：0.8

  解析

• 2．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布N（9，1²），则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（　　）
  附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ＜μ+3σ）=0.9974

  A．14

  B．16

  C．30

  D．32
  组卷：75引用：2难度：0.7

  解析

• 3．今4名医生分别到A、B、C三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（　　）

  A． 1 3

  B． 1 4

  C． 1 6

  D． 1 8
  组卷：160引用：3难度：0.7

  解析

• 4．已知二面角α-l-β，其中平面的一个法向量

  m

  =（1，0，-1），平面β的一个法向量

  n

  =（0，-1，1），则二面角α-l-β的大小可能为（　　）

  A．60°

  B．120°

  C．60°或120°

  D．30°
  组卷：255引用：6难度：0.7

  解析

• 5．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中至少有一药，事件B表示选出的两种中有一方，则P（B|A）=（　　）

  A． 1 5

  B． 3 10

  C． 3 5

  D． 3 4
  组卷：927引用：18难度：0.8

  解析

• 6．（x+

  a

  x

  ）（2x-

  1

  x

  ）⁵的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（　　）

  A．-40

  B．-20

  C．20

  D．40
  组卷：2831引用：36难度：0.9

  解析

• 7．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱BC的中点，点K在线段D₁E上，点K到直线CC₁的距离的最小值为（　　）

  A． 2 5 5

  B． 5 5

  C． 5 10

  D． 3 5 10
  组卷：88引用：1难度：0.5

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四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是

  1

  3

  ；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是

  1

  2

  ，第二个路口遇到红灯的概率是

  2

  3

  ．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
  （1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
  （2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min,为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
  组卷：169引用：6难度：0.7

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• 22．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁为正方形，四边形AA₁C₁C为菱形，且∠AA₁C=60°，平面AA₁C₁C⊥平面AB₁BA₁，点D为棱BB₁的中点．
  （1）求证：AA₁⊥CD；
  （2）棱B₁C₁（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B-A₁M-B₁的余弦值为

  15

  5

  ，若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
  组卷：291引用：3难度：0.4

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