2022-2023学年上海市青浦区高三（上）期末数学试卷（一模）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

• 1．集合A={1，2，3，4}，B={x|（x-1）（x-5）＜0}，则A∩B=

   

  ．
  组卷：166引用：5难度：0.9

  解析

• 2．若复数

  z

  =

  a

  +

  i

  i

  （其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=

   

  ．
  组卷：137引用：9难度：0.9

  解析

• 3．从等差数列84，80，76，72，⋯的第

  项起，各项均为负值．
  组卷：223引用：1难度：0.7

  解析

• 4．不等式

  2

  x

  2

  -

  2

  x

  -

  3

  ＜

  （

  1

  2

  ）

  3

  （

  x

  -

  1

  ）

  的解集为

  ．
  组卷：238引用：3难度：0.6

  解析

• 5．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是

   

  ．
  组卷：136引用：2难度：0.9

  解析

• 6．已知函数f（x）=x³-2x,则f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为

  ．
  组卷：209引用：5难度：0.7

  解析

• 7．已知

  （

  x

  +

  a

  x

  2

  ）

  6

  的展开式的常数项为45，则常数a的值为

  ．
  组卷：209引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

• 20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

  Γ

  ：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  ，过右焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．
  （1）写出椭圆右焦点F的坐标及椭圆的离心率；
  （2）证明：直线MN必过定点，并求出该定点坐标；
  （3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．
  组卷：452引用：3难度：0.6

  解析

• 21．设函数

  f

  1

  （

  x

  ）

  =

  x

  2

  +

  a

  e

  x

  （其中a为非零常数，e是自然对数的底），记

  f

  n

  （

  x

  ）

  =

  f

  n

  -

  1

  ′

  （

  x

  ）

  （

  n

  ≥

  2

  ，

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ．
  （1）求对任意实数x,都有f_n（x）=f_n-1（x）成立的最小整数n的值（n≥2，n∈N^*）；
  （2）设函数g_n（x）=f₂（x）+f₃（x）+⋯f_n（x），若对任意n≥3，n∈N^*，y=g_n（x）存在极值点x=t_n，求证：点

  A

  n

  （

  t

  n

  ，

  g

  n

  （

  t

  n

  ）

  ）

  （

  n

  ≥

  3

  ，

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  在一定直线上，并求该定直线方程；
  （3）是否存在正整数k（k≥2）和实数x₀，使f_k（x₀）=f_k-1（x₀）=0，且对任意的正整数n,f_n（x）至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k和x₀，若不存在，说明理由．
  组卷：315引用：6难度：0.2

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