青岛版九年级（下）中考题同步试卷：5.8 二次函数的应用（13）

一、解答题（共30小题）

• 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为直线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m.
  （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
  （2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
  （3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；
  （4）抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1：5的两部分，直接写出此时m的值．
  组卷：873引用：50难度：0.1

  解析

• 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是直线x=3，对称轴与x轴交于点B．
  （1）求抛物线的函数表达式；
  （2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
  （3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：3436引用：54难度：0.1

  解析

• 3．如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
  （1）抛物线y=

  1

  2

  x²对应的碟宽为

  ；抛物线y=4x²对应的碟宽为

  ；抛物线y=ax²（a＞0）对应的碟宽为

  ；抛物线y=a（x-2）²+3（a＞0）对应的碟宽为

  ；
  （2）抛物线y=ax²-4ax-

  5

  3

  （a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
  （3）将抛物线y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的对应准碟形记为F_n（n=1，2，3…），定义F₁，F₂，…，F_n为相似准碟形，相应的碟宽之比即为相似比．若F_n与F_n-1的相似比为

  1

  2

  ，且F_n的碟顶是F_n-1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准碟形记为F₁．
  ①求抛物线y₂的表达式；
  ②若F₁的碟高为h₁，F₂的碟高为h₂，…F_n的碟高为h_n，则h_n=

  ，F_n的碟宽右端点横坐标为

  ；F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．
  
  组卷：1909引用：52难度：0.1

  解析

• 4．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（5，0）两点，直线y=-

  3

  4

  x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m.
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若PE=5EF，求m的值；
  （3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：4218引用：74难度：0.1

  解析

• 5．如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，-4）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，
  ①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；
  ②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S_△EFG与S_△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．
  组卷：4637引用：56难度：0.1

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• 6．如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，-1），另一顶点B坐标为（-2，0），已知二次函数y=

  3

  2

  x²+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．
  （1）求点C的坐标及二次函数的关系式；
  （2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
  （3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=

  10

  2

  时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．
  （说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）
  
  组卷：1147引用：53难度：0.1

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• 7．已知一个矩形纸片OABC，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图，点A（5，0），C（0，

  5

  2

  ），把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点O落在点D，AD、BC相交于点E．
  （1）求CE的长；
  （2）求直线AC的函数解析式及点D的坐标；
  （3）求经过点C、D、B抛物线的解析式；
  （4）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点F，点P是抛物线上的任意一点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点Q在抛物线上是否存在点P，使以点P、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
  组卷：768引用：50难度：0.1

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• 8．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y=

  3

  3

  x²先向右平移1个单位，再向下平移

  4

  3

  3

  个单位，得到新的抛物线y=ax²+bx+c,该抛物线与y轴交于点B，与x轴正半轴交于点C．
  （1）求点B和点C的坐标；
  （2）如图1，有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移，移动的速度为每秒1个单位，移动的时间为t秒，直线l与抛物线y=ax²+bx+c交于点P，当点P在x轴上方时，求出使△PBC的面积为2

  3

  的t值；
  （3）如图2，将直线BC绕点B逆时针旋转，与x轴交于点M（1，0），与抛物线y=ax²+bx+c交于点A，在y轴上有一点D（0，

  2

  3

  3

  ），在x轴上另取两点E，F（点E在点F的左侧），EF=2，线段EF在x轴上平移，当四边形ADEF的周长最小时，先简单描述如何确定此时点E的位置？再直接写出点E的坐标．
  
  组卷：1082引用：50难度：0.1

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• 9．如图，抛物线y=-

  1

  2

  x

  2

  +bx+3与y轴相交于点E，抛物线对称轴x=2交抛物线于点M，交x轴于点F，点A在x轴上，A（

  1

  2

  ，0），B（2，m）是射线FN上一动点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D．
  （1）求b的值；
  （2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
  （3）当以O、E、D、C为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．
  
  组卷：489引用：50难度：0.1

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• 10．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=

  2

  3

  x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）．
  （1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
  （2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，以点A、C、E、F为顶点的四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；
  （3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t,0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．
  组卷：1965引用：50难度：0.2

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一、解答题（共30小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
  （3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
  
  组卷：5197引用：61难度：0.1

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• 30．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
  （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
  （2）如果P点的坐标为（x,y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
  （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
  组卷：3077引用：65难度：0.1

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