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菁优网如图,直线l:y=x+2,抛物线C:y2=2px(p>0),已知点P(2,2)在抛物线C上.
(1)求C的方程;
(2)过点Q(2,1)的任一直线(不经过点P)与抛物线C交于A、B两点,直线AB与直线l相交于点M,记直线PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k1+k2=2k3
【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
由|m|+|n<推出-
m
2
∈,1).利用△>,说明一元二次方t2+t+n=在区间(-11)有两不等的实根.
(II)通∈(-
6
π
6
),求出+
π
3
∈(-
π
2
π
2
)令u=x+
π
3
,f(x)=t(t)=tmt+n则f(x)=siu,
【分析】(I)利辅助角公化简函数表达式Asnωx+ϕ),利用f(xπ)=f(x+π),求函数周期,通过期求出ω,通过x)=f(
π
3
-),令x=0,得到(0=f(
π
3
)求出a,可求f(x)的析式;
通过=
5
6
,n=
1
6
,说明“|m|+n|”是“方程[x]2+mf(x)+n=0在区间-
6
π
6
)有个不等实根的必要条件.
【解答】解:(I∵(x)=
1
2
sinωxcosωx)=
a21
2
sin(ωx+ϕ)中snϕ=
a
a21
,coϕ=
1
a21

∵|m|||+|n|<1,∴-
m
2
(-1,1).
∴程sin2x+
π
3
)+
5
6
sn(x+
π
3
)+
1
6
=0(-
6
π
6
)有两不等的实根,
故|m||n|<1”是方程[f(x)2mf(x)n=在区间(-
6
π
6
有两个不等实”的必要条件.
∴[x)]2+f(x)+n=0在间(-
6
π
6
)有两个等实根.
同理|m-n≤|m|+n|<1得-n1.
∴g=n+1>0,g(-1)=1-m>.
令m=
5
6
,n=
1
6
,于方程t2+
5
6
t+
1
6
=0有两个不实根-
1
3
,-
1
2
,且-
1
3
,-
1
2
∈(1,1),
∴“|+|n|<”是“方程[f(x2+mf(x)n=在区间(-
6
π
6
)内有不等实根”的充分条.
∵函数y=snuu(-
π
2
π
2
)与u=x+
π
3
x∈(-
6
π
6
))是增函数,
令ux+
π
3
,f(x)=tg()=2+mt,则f()=sinu,
又∵(x)f(
π
3
-x),f(0)f(
π
3
),
∵△=m2-4n>0,∴一元二次方程t+m+n0在区间-1,1内两等的实根.
|ω|
≤2π即|ω|≥.又0<ω≤,∴ω=.
上,“|m||n|<1”“程[fx)2+mf(xn=0在区间(-
6
π
6
)内有个不等根的分不必要条件.
【点评】本题考查三函数的简,解式的求,以及充分件与必要件的证明,方的根的识,考查化思想,算能力,反例证的应用.
声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。答题:双曲线老师 2017/12/12
更新:2017/12/12组卷:7真题:1难度:0.30

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