（2025秋•深圳月考）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角．如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a,b,c,点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ．
（1）若AB=AC=1，且，求△ABC的布洛卡角θ的正切值；
（2）若△ABC的面积为S．求证：；
（3）若PB平分∠ABC，试问是否存在常实数t,使得b²=tac,若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．

（2024秋•深圳校级月考）设x∈R，记不大于x的整数为[x]，如[1.1]=1，[-1.1]=-2．
（1）若集合M={y|y=[x²-2x+2]，x∈[1，a]}只有8个子集，求a的取值范围；
（2）若集合，求集合N的元素之和；
（3）已知a,b,c都大于0，且ab+bc+ca=1，记，求证：[S]=4．

（2025秋•深圳月考）已知函数f（x）=ax-sinx在R上单调，若实数a,b满足f（a²）+f（b²-4）=0，则令s=b²（a²+3），则下列关于s的结论正确的是（　　）

（2025秋•深圳校级月考）S_n，T_n分别是等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和，则（　　）

（2025秋•深圳月考）已知等比数列{a_n}的前n项和为，则log₂a₂+log₂a₆=．

（2025秋•深圳月考）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，S_n+1=a_n+S_n+2，，数列{b_n}的前n项和为T_n，．
（1）求数列{a_n}的通项公式及数列{b_n}的前n项和T_n．
（2）求数列{C_n}的通项公式，并证明其前n项和．

（2025秋•深圳校级月考）已知，，，则（　　）

（2025秋•深圳校级月考）设正整数m≥3（m为常数），数列a₁，a₂，⋯，a_m各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合，对有限集S，记|S|为S中的元素个数．
（1）若m=4，a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，求|S₄|；
（2）证明：
（3）若|S_m|=2m-3，且m≥6，证明：存在集合X，Y，使得X∪Y={a₁，a₂，⋯，a_m}，X∩Y=∅，|X|≥3，|Y|≥3，X中的元素按照某种次序排列后成等比数列，Y中的元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的公比相同．

（2025秋•深圳月考）已知数列{a_n}中，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n；
（3）令，求数列{b_n}的最大项．

（2025秋•深圳校级月考）已知数列{a_n}的首项a₁=6，且满足a_n+1+2ⁿ⁺¹=4a_n．
（1）求证：{a_n-2ⁿ}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）令b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：n+＜n.