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2022-2023学年云南省昆明一中高三（下）第七次月考数学试卷

发布：2024/7/16 8:0:9

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x²=x}，
B
=
{
x
|
1
x
≥
1
}
，则A∩B=（　　）
A．{1} B．{0} C．{0，1} D．∅
组卷：29引用：2难度：0.8
解析
2．欧拉公式e^ix=cosx+isinx（其中e是自然对数的底，i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了指数函数与三角函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将
e
2
π
3
i
所表示的复数记为z,则
z
=（　　）
A．
1
2
+
3
2
i
B．
1
2
-
3
2
i
C．
-
1
2
+
3
2
i
D．
-
1
2
-
3
2
i
组卷：27引用：3难度：0.8
解析
3．已知实数a,则“1，a,4成等比数列”是“a=2”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：33引用：3难度：0.7
解析
4．某村镇道路上有10盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中不相邻的3盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数有（　　）
A．60 B．35 C．20 D．5
组卷：56引用：3难度：0.7
解析
5．已知
sin
（
π
12
-
α
）
=
-
3
5
，
α
∈
[
0
，
π
2
]
，则
cos
（
5
π
6
+
2
α
）
的值为（　　）
A．
24
25
B．
-
24
25
C．
7
25
D．
-
7
25
组卷：454引用：8难度：0.7
解析
6．将一块直径为
2
3
的半球形石材切割成一个体积最大的圆柱，则切割掉的废弃石材的体积为（　　）
A．
（
2
3
-
2
）
π
B．
（
4
3
-
2
）
π
C．
（
2
3
-
2
3
）
π
D．
（
4
3
-
2
3
）
π
组卷：24引用：2难度：0.5
解析
7．已知函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＜f（x）成立，则（　　）
A．ef（1）＜f（2） B．ef（1）≤f（2） C．ef（1）＞f（2） D．ef（1）≥f（2）
组卷：107引用：3难度：0.6
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．在平面直角坐标系O-xy中，点
G
（
-
14
，
0
）
，点
A
（
14
，
0
）
．以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q．
（1）求Q的轨迹方程；
（2）过原点斜率为
k
（
0
＜
k
≤
5
4
）
的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值．
组卷：38引用：2难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=alnx-x²+（2a-1）x（a∈R），f'（x）为f（x）的导函数．
（1）讨论f（x）单调性和极值；
（2）若f（x）存在两个零点x₁，x₂，求a的取值范围；并证明：
f
′
（
x
1
+
x
2
2
）
＜
0
．
组卷：75引用：2难度：0.5
解析