2023-2024学年陕西省西安市铁一中学高二（上）第一次月考数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分.在每题给出的四个选项a＜4中，只有一个是符合题目要求的.

• 1．设集合A={x|log₂（x-1）＜2}，B={x|x＜5}，则（　　）

  A．A=B

  B．B⊆A

  C．A⊆B

  D．A∩B=∅
  组卷：140引用：7难度：0.9

  解析

• 2．若复数z=（x²-1）+（x+1）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．-1或1
  组卷：117引用：7难度：0.8

  解析

• 3．椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  9

  =

  1

  与

  x

  2

  9

  -

  k

  +

  y

  2

  25

  -

  k

  =

  1

  （

  0

  ＜

  k

  ＜

  9

  ）

  关系为（　　）

  A．有相等的长轴长	B．有相等的离心率
  C．有相同的焦点	D．有相等的焦距
  组卷：266引用：2难度：0.8

  解析

• 4．下列命题为真命题的是（　　）

  A．∀x∈R，x2-|x|+1≤0	B．∀x∈R，-1≤ 1 cosx ≤1
  C．∃x0∈R，（lnx0）2≤0	D．∃x0∈R，sinx0=3
  组卷：80引用：3难度：0.7

  解析

• 5．“a＜4”是“过点（1，1）有两条直线与圆x²+y²+2y-a=0相切”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：153引用：4难度：0.7

  解析

• 6．若

  α

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  ，

  sinα

  =

  5

  3

  ，则

  tan

  （

  2

  α

  +

  π

  2

  ）

  =（　　）

  A． 4 5

  B． - 4 5

  C． 5 20

  D． - 5 20
  组卷：152引用：2难度：0.8

  解析

• 7．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）

  A．2

  B．1

  C． 8 3

  D． 4 3
  组卷：3428引用：24难度：0.7

  解析

四、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB∥DC，AB=2BC=2CD=4，∠BCD=60°，平面PBD⊥平面ABCD．
  （1）证明：PB⊥AD；
  （2）若PB=PD，且三棱锥P-BCD的体积为

  3

  ，点F满足

  PF

  =

  1

  3

  PC

  ，求平面DBF与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．
  组卷：89引用：5难度：0.4

  解析

• 22．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  经过点M（0，3），离心率为

  2

  2

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）直线l：y=kx-1椭圆C相交于A，B两点，求|MA|•|MB|的最大值．
  组卷：213引用：3难度：0.3

  解析