2023-2024学年湖南省岳阳一中高三（上）开学数学试卷

一．选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

• 1．集合A={x|x²+px+q=0，x∈R}={2}，则p+q=（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  组卷：173引用：3难度：0.8

  解析

• 2．在下列函数中，为偶函数的是（　　）

  A．f（x）=x-cosx	B．f（x）=xcosx
  C．f（x）=ln|x|	D． f （ x ） = x
  组卷：409引用：3难度：0.7

  解析

• 3．函数f（x）=log₂x+2x-1的零点所在区间为（　　）

  A． （ 0 ， 1 2 ）

  B． （ 1 2 ， 1 ）

  C． （ 1 ， 3 2 ）

  D． （ 3 2 ， 2 ）
  组卷：208引用：3难度：0.7

  解析

• 4．若α、β是两个不重合的平面，
  ①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；
  ②设α、β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α⊥β；
  ③若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；
  以上说法中成立的有（　　）个．

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：62引用：4难度：0.7

  解析

• 5．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  4

  2

  -

  e

  |

  x

  |

  +

  1

  在[-2，2]上的大致图象为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：65引用：3难度：0.8

  解析

• 6．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m,在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）
  

  A．91m

  B．74m

  C．64m

  D．52m
  组卷：143引用：9难度：0.5

  解析

• 7．若正实数x、y满足x+y=1，则

  x

  2

  x

  +

  2

  +

  y

  2

  y

  +

  1

  的最小值为（　　）

  A． 1 8

  B． 1 4

  C． 1 2

  D．1
  组卷：788引用：3难度：0.5

  解析

四．解答题（共6小题，共70分）

• 21．已知函数f（x）=lna•xe^-x+asinx,e是自然对数的底数，若a＞0，且x=0恰为f（x）的极值点．
  （1）证明：

  1

  2

  ＜

  a

  ＜

  1

  ；
  （2）求f（x）在区间（-∞，π）上零点的个数．
  组卷：426引用：2难度：0.1

  解析

• 22．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  ，设P是双曲线C上任意一点，O为坐标原点，F为双曲线右焦点，A₁，A₂为双曲线的左右顶点．
  
  （1）已知：无论点P在右支的何处，总有|PO|＞|PF|，求

  b

  a

  的取值范围；
  （2）设过右焦点F的直线l交双曲线于M，N两点，若存在直线l,使得△OMN为等边三角形，求

  b

  2

  a

  2

  的值；
  （3）若a=2，

  b

  =

  3

  ，动点Q在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线QA₁和直线QA₂与直线l：x=1分别相交于点S和T，试问：是否存在定点E，使得ES⊥ET恒成立？若存在，请求出定点E的坐标；若不存在，试说明理由．
  组卷：39引用：1难度：0.3

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