2023-2024学年湖南省天壹名校联盟高三（上）入学数学试卷（湘潭一模）

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2，3，4}，则A∩B=（　　）

  A．{0，1，2}

  B．{-1，0，1}

  C．{-1，0，1，2}

  D．{-1，0，1，2，3}
  组卷：40引用：2难度：0.7

  解析

• 2．若复数z满足（z+1）（1-i）=1+i,则在复平面内，z对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：16引用：2难度：0.7

  解析

• 3．已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和2，圆台的高为3，则圆台的体积为（　　）

  A．21π

  B．15π

  C．7π

  D．5π
  组卷：65引用：2难度：0.8

  解析

• 4．若圆心在第一象限的圆过点（2，0），且与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+y-11=0的距离为（　　）

  A．1

  B． 6 5 5

  C．2

  D． 5
  组卷：171引用：3难度：0.5

  解析

• 5．已知f（x）=|lnx|，设0＜a＜b,且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（　　）

  A．[3，+∞）

  B．（3，+∞）

  C． [ 2 2 ， + ∞ ）

  D． （ 2 2 ， + ∞ ）
  组卷：92引用：10难度：0.7

  解析

• 6．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  sin

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ，-

  π

  2

  ＜

  φ

  ＜

  π

  2

  ）

  图象的相邻两条对称轴之间的距离为

  π

  3

  ，且关于点

  （

  5

  π

  18

  ，

  0

  ）

  对称，则φ的值为（　　）

  A． π 12

  B． π 6

  C． π 4

  D． π 3
  组卷：290引用：4难度：0.8

  解析

• 7．甲、乙两位游客慕名来到张家界旅游，准备从天门山、十里画廊、袁家界、大峡谷4个景点中随机选择其中一个，在甲、乙两位游客选择的景点不同的条件下，恰好有一名游客选择大峡谷景点的概率为（　　）

  A． 1 4

  B． 3 8

  C． 1 2

  D． 3 4
  组卷：49引用：3难度：0.7

  解析

四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

• 21．已知函数f（x）=axlnx-x（a∈R）．
  （1）若

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  2

  ]

  ，f（x）≥-1，求a的取值范围；
  （2）当a=1时，记函数g（x）=ln（x+1）-f（x）的最大值为M，证明：M＜2．
  组卷：64引用：4难度：0.4

  解析

• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点别为F₁，F₂，离心率为

  1

  2

  ，P是椭圆C上一动点，△PF₁F₂面积的最大值为

  3

  ．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）不过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，平面上一点D满足

  OA

  =

  AD

  ，连接BD交椭圆C于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若

  S

  △

  EAB

  S

  △

  OAB

  =

  2

  5

  ，求原点O到直线l的距离的取值范围．
  组卷：34引用：2难度：0.5

  解析