2023-2024学年河南省“顶尖计划”高三（上）第一次联考数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．设集合A={x|e^x＞2}，

  B

  =

  {

  x

  |

  x

  ＜

  9

  }

  ，则A∩B=（　　）

  A．{x|ln2＜x＜3}

  B．{x|ln2＜x＜81}

  C．{x|0≤x＜3}

  D．{x|x＞e2}
  组卷：74引用：6难度：0.7

  解析

• 2．若复数z=a+bi（a,b∈R）满足

  z

  +

  z

  z

  -

  z

  =

  i

  ，则（　　）

  A．a=0

  B．b=0

  C．a+b=0

  D．a-b=0
  组卷：35引用：4难度：0.8

  解析

• 3．已知同一平面内的单位向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  满足

  a

  +

  b

  +

  c

  2

  =

  0

  ，则|

  a

  -

  b

  |=（　　）

  A． 5 2

  B． 2

  C． 3

  D． 15 2
  组卷：35引用：5难度：0.7

  解析

• 4．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悪，算水盆于下，则见四邻矣．”这是中国古代人民利用光的反射原理的实例，体现了传统文化中的数学智慧．光的反射原理可概述为：反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角．在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点（-2，0）射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与圆x²+y²-2x-2y=0相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  组卷：55引用：2难度：0.7

  解析

• 5．设各项都为正数的无穷等差数列{a_n}的公差为d,且

  a

  2

  a

  1

  =

  2

  d

  ，则a₅的最小值为（　　）

  A． 5 2

  B． 7 2

  C． 9 2

  D． 11 2
  组卷：95引用：2难度：0.6

  解析

• 6．已知圆锥SO的轴截面为正三角形，用平行于底面的平面截圆锥SO所得到的圆锥SO₁与圆台O₁O的体积之比为1：7，则圆锥SO₁与圆台O₁O的表面积之比为（　　）

  A． 3 11

  B． 3 8

  C． 1 2

  D． 2 3
  组卷：53引用：4难度：0.7

  解析

• 7．已知双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为2，左、右顶点分别为A₁，A₂，右焦点为F，点P在C的右支上，且满足PF⊥FA₂，则tan∠A₁PA₂=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3

  D．2
  组卷：156引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有n（n∈N^*）道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为

  1

  3

  ．第二轮每题答对的概率均为

  2

  3

  ．设小明第一轮答题的总得分为X，第二轮答题的总得分为Y．
  （Ⅰ）若n=30，求E（X）；
  （Ⅱ）证明：当n≥24时，E（X）＞E（Y）．
  组卷：56引用：2难度：0.4

  解析

• 22．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心作半径为1的圆，过F且倾斜角为

  π

  3

  的直线与抛物线E交于A，B两点，且

  |

  AB

  |

  =

  16

  3

  ．
  （Ⅰ）求E的方程；
  （Ⅱ）设O为坐标原点，T为E上一点，过T作圆F的两条切线，分别交E于另外两点P，Q，直线PQ分别交x轴正半轴、y轴正半轴于M，N两点，求△MON面积的最小值．
  组卷：78引用：2难度：0.3

  解析