2023年吉林省通化市梅河口五中（火箭班）高考数学最后一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x|x²-3x-4＜0}，B={-2，-1，1，2，4}，则A∩B=（　　）

  A．{-2，-1}

  B．{-1，2}

  C．{1，2}

  D．{1，2，4}
  组卷：100引用：2难度：0.9

  解析

• 2．若复数

  z

  =

  2

  -

  i

  2023

  1

  +

  i

  ，则复数z在复平面内对应的点在（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：84引用：3难度：0.7

  解析

• 3．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是2的倍数的概率为（　　）

  A． 1 5

  B． 1 3

  C． 2 5

  D． 2 3
  组卷：113引用：2难度：0.7

  解析

• 4．若

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  cos

  2

  α

  =

  7

  9

  ，则sinα+cosα=（　　）

  A．1

  B． 2 2 3

  C． 1 + 2 2 3

  D． 2 3 3
  组卷：209引用：2难度：0.7

  解析

• 5．函数f（x）=（x-

  1

  x

  ）ln|x|的图象大致是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：246引用：7难度：0.9

  解析

• 6．若直线kx-y+2k-1=0恒过点A，点A也在直线mx+ny+2=0上，其中m,n均为正数，则mn的最大值为（　　）

  A． 1 4

  B． 1 2

  C．1

  D．2
  组卷：258引用：4难度：0.7

  解析

• 7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁如图所示，AB=4，BC=3，AC=5，D为棱AB的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线A₁D和B₁C所成的角的余弦值为（　　）

  A． 3 2 5

  B． 2 5

  C． 4 2 5

  D． 16 2 25
  组卷：353引用：7难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c,0），F₂（c,0），离心率为

  2

  3

  3

  ，点P（x₁，2）是C右支上一点，△PF₁F₂的面积为4．
  （1）求C的方程；
  （2）点A是C在第一象限的渐近线上的一点，AF₂⊥x轴，点Q是C右支在第一象限上的一点，且C在点Q处的切线l与直线AF₂相交于点M，与直线x=

  a

  2

  c

  相交于点N．试判断

  |

  N

  F

  2

  |

  |

  M

  F

  2

  |

  的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由．
  组卷：164引用：3难度：0.3

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  （

  1

  +

  1

  x

  ）

  x

  （

  x

  ＞

  0

  ）

  ．
  （1）证明：f（x）＜e；
  （2）讨论f（x）的单调性，并证明：当n∈N^*时，（2n+1）ln（n+1）＜nlnn+（n+1）ln（n+2）．
  组卷：85引用：1难度：0.5

  解析