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2023-2024学年重庆市渝北中学高三（上）质检数学试卷（10月份）

发布：2024/9/30 2:0:2

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|x²-3x-10＜0}，B={x|2^x＜2}，则A∩B=（　　）
A．（-2，1） B．（-5，1） C．∅ D．{0}
组卷：103引用：5难度：0.9
解析
2．已知向量
a
=
（
-
1
，
1
）
，
b
=
（
2
，
x
）
，若
a
∥
b
，则
a
•
b
=（　　）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
组卷：203引用：3难度：0.8
解析
3．若等比数列{a_n}，前n项和S_n，且a₂a₃=2a₁，
5
4
为a₄与2a₇的等差中项，则公比q=（　　）
A．
1
3
B．
1
2
C．
-
1
2
D．
-
1
3
组卷：82引用：1难度：0.7
解析
4．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段囫弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（　　）
A．
8
π
-
12
3
B．
8
π
-
8
3
C．
16
π
-
8
3
D．
16
π
-
4
3
组卷：101引用：5难度：0.5
解析
5．若cosα=
1
7
，cos（α+β）=-
11
14
，α∈（0，
π
2
），α+β∈（
π
2
，
π
），则β为（　　）
A．
-
π
3
B．
π
6
C．
π
3
D．
-
π
6
组卷：63引用：3难度：0.9
解析
6．在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，
BC
=
6
，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=（　　）
A．2 B．
2
2
C．3 D．
3
2
组卷：103引用：2难度：0.7
解析
7．定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，
f
′
（
x
）
+
f
（
x
）
x
＞
0
，若a=f（1），
b
=
（
lo
g
3
1
9
）
f
（
lo
g
3
1
9
）
，
c
=
（
ln
1
2
）
f
（
ln
1
2
）
，则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
组卷：59引用：2难度：0.6
解析

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．已知函数
f
（
x
）
=
x
e
x
+
a
（
x
-
1
）
2
．
（1）当a=0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）存在极大值点，且极大值不大于
1
2
，求a的取值范围．
组卷：70引用：8难度：0.5
解析
22．已知函数
f
（
x
）
=
ln
（
1
+
x
）
+
x
2
2
．
（1）当x∈[0，+∞）时，比较f（x）与x的大小；
（2）若函数
g
（
x
）
=
cosx
+
x
2
2
，且
f
（
e
a
2
）
=
g
（
b
）
-
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
，证明：f（b²）+1＞g（a+1）．
组卷：63引用：12难度：0.6
解析

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2023-2024学年重庆市渝北中学高三（上）质检数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|x2-3x-10＜0}，B={x|2x＜2}，则A∩B=（ ）

2．已知向量a=（-1，1），b=（2，x），若a∥b，则a•b=（ ）

3．若等比数列{an}，前n项和Sn，且a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，则公比q=（ ）

5．若cosα=17，cos（α+β）=-1114，α∈（0，π2），α+β∈（π2，π），则β为（ ）

6．在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=（ ）

7．定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+f（x）x＞0，若a=f（1），b=（log319）f（log319），c=（ln12）f（ln12），则（ ）

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．已知函数f（x）=xex+a（x-1）2．（1）当a=0时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）存在极大值点，且极大值不大于12，求a的取值范围．

22．已知函数f（x）=ln（1+x）+x22．（1）当x∈[0，+∞）时，比较f（x）与x的大小；（2）若函数g（x）=cosx+x22，且f（ea2）=g（b）-1（a＞0，b＞0），证明：f（b2）+1＞g（a+1）．

1．已知集合A={x|x²-3x-10＜0}，B={x|2^x＜2}，则A∩B=（　　）

2．已知向量
a
=
（
-
1
，
1
）
，
b
=
（
2
，
x
）
，若
a
∥
b
，则
a
•
b
=（　　）

3．若等比数列{a_n}，前n项和S_n，且a₂a₃=2a₁，
5
4
为a₄与2a₇的等差中项，则公比q=（　　）

5．若cosα=
1
7
，cos（α+β）=-
11
14
，α∈（0，
π
2
），α+β∈（
π
2
，
π
），则β为（　　）

6．在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，
BC
=
6
，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=（　　）

7．定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，
f
′
（
x
）
+
f
（
x
）
x
＞
0
，若a=f（1），
b
=
（
lo
g
3
1
9
）
f
（
lo
g
3
1
9
）
，
c
=
（
ln
1
2
）
f
（
ln
1
2
）
，则（　　）

21．已知函数
f
（
x
）
=
x
e
x
+
a
（
x
-
1
）
2
．
（1）当a=0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）存在极大值点，且极大值不大于
1
2
，求a的取值范围．

22．已知函数
f
（
x
）
=
ln
（
1
+
x
）
+
x
2
2
．
（1）当x∈[0，+∞）时，比较f（x）与x的大小；
（2）若函数
g
（
x
）
=
cosx
+
x
2
2
，且
f
（
e
a
2
）
=
g
（
b
）
-
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
，证明：f（b²）+1＞g（a+1）．