2022-2023学年湖南省常德一中高三（下）第十二次月考数学试卷（5月份）

一、单项选择题（本大题每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x²-2x-3＜0}，则∁_U（A∪B）=（　　）

  A．{0，1，2，3}

  B．{5}

  C．{1，2，4}

  D．{3，4，5}
  组卷：85引用：1难度：0.8

  解析

• 2．欧拉公式e^ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e²ⁱ表示的复数在复平面中位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：713引用：49难度：0.9

  解析

• 3．已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，a₆+a₃-a₅=3，则S₇=（　　）

  A．42

  B．21

  C．7

  D．3
  组卷：539引用：9难度：0.9

  解析

• 4．某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使两项费用之和最小，仓库和车站的距离为（　　）

  A．4km

  B．5km

  C．6km

  D．7km
  组卷：69引用：2难度：0.8

  解析

• 5．“α＞

  π

  2

  ”是“α-sinα＞

  π

  2

  -1”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：110引用：5难度：0.8

  解析

• 6．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地的降雨量是（　　）

  A．9寸

  B．6寸

  C．4寸

  D．3寸
  组卷：129引用：6难度：0.7

  解析

• 7．如图，A，B是椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右顶点，P是⊙O：x²+y²=a²上不同于A，B的动点，线段PA与椭圆C交于点Q，若tan∠PBA=3tan∠QBA，则椭圆的离心率为（　　）

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 3 3

  D． 6 3
  组卷：487引用：8难度：0.6

  解析

四、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．
  （1）求双曲线C的方程；
  （2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，若k₁k₂=-2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．
  组卷：655引用：9难度：0.4

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  （

  x

  +

  1

  x

  ）

  （

  x

  -

  1

  ）

  -

  （

  x

  +

  1

  ）

  lnx

  ,

  g

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  x

  ．
  （1）求f（x）的单调区间；
  （2）若存在实数m,使得方程g（x）=m有两个不相等的实数根x₁，x₂，求证：g'（x₁）+g'（x₂）＞0．
  组卷：37引用：1难度：0.3

  解析