2023年江苏省南京师大附中江宁分校等两校高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．复数

  1

  +

  i

  1

  -

  i

  （i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（　　）

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  组卷：189引用：9难度：0.8

  解析

• 2．已知M，N为全集U的两个不相等的非空子集，若（∁_UN）⊆（∁_UM），则下列结论正确的是（　　）

  A．∀x∈N，x∈M

  B．∃x∈M，x∉N

  C．∃x∉N，x∈M

  D．∀x∈M，x∉∁UM
  组卷：183引用：3难度：0.8

  解析

• 3．过圆O：x²+y²=5外一点P（2，

  5

  ）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|=（　　）

  A．2

  B． 5

  C． 4 5 3

  D．3
  组卷：757引用：6难度：0.8

  解析

• 4．已知数列{a_n}是等比数列，（a₄+ma₇）•a₈=（a₆-a₉）²且公比q∈（1，2），则实数m的取值范围为（　　）

  A．（1，9）

  B．（2，10）

  C．（1，8）

  D．（-1，6）
  组卷：276引用：4难度：0.6

  解析

• 5．某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（　　）

  A．135种

  B．360种

  C．90种

  D．270种
  组卷：416引用：4难度：0.6

  解析

• 6．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

  A． （ 0 ， 5 - 1 2 ）

  B． （ 5 - 1 2 ， 1 ）

  C． （ 0 ， 3 - 1 2 ）

  D． （ 3 - 1 2 ， 1 ）
  组卷：439引用：3难度：0.6

  解析

• 7．已知函数

  y

  =

  2

  sin

  （

  ωx

  -

  π

  3

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  图象与函数

  y

  =

  2

  sin

  （

  ωx

  +

  π

  6

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且△ABC是锐角三角形，则ω的取值范围是（　　）

  A． （ 2 π 4 ， + ∞ ）

  B． （ π 4 ， + ∞ ）

  C． （ 0 ， π 4 ）

  D． （ 0 ， 2 π 4 ）
  组卷：248引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．在平面直角坐标系xOy中，双曲线

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  0

  ＜

  a

  ＜

  3

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  2

  ．斜率为

  b

  a

  的直线m经过点M（3，0），点N是直线m与双曲线E的交点，且

  |

  MN

  |

  =

  2

  ．
  （1）求双曲线E的方程；
  （2）若经过定点P（1，1）的直线l与双曲线E相交于A、B两点，经过点A斜率为-2的直线与直线m的交点为T，求证：直线BT经过x轴上的定点．
  组卷：281引用：3难度：0.6

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  ax

  e

  x

  和函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  ax

  有相同的最大值．
  （1）求a的值；
  （2）设集合A={x|f（x）=b}，B={x|g（x）=b}（b为常数）．
  ①证明：存在实数b,使得集合A∪B中有且仅有3个元素；
  ②设A∪B={x₁，x₂，x₃}，x₁＜x₂＜x₃，求证：x₁+x₃＞2x₂．
  组卷：164引用：5难度：0.2

  解析