2022-2023学年河南省顶尖名校联盟高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．命题p：∃x＞1，x²-2^x＞0的否定为（　　）

  A．∀x＞1，x2-2x≤0	B．∀x≤1，x2-2x≤0
  C．∃x≤1，x2-2x≤0	D．∃x＞1，x2-2x≤0
  组卷：199引用：4难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z满足2z-

  z

  =3+i,则|z|=（　　）

  A． 10

  B． 5

  C． 82 3

  D． 41 3
  组卷：40引用：5难度：0.8

  解析

• 3．集合M={x|x=4n+1，n∈Z}，S={x|

  11

  ＜x＜

  101

  }，则M∩S中的元素个数为（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  组卷：175引用：7难度：0.8

  解析

• 4．若tanα=2，则

  sin

  2

  α

  1

  +

  cos

  2

  α

  =（　　）

  A． 1 6

  B． 1 3

  C． 2 3

  D．1
  组卷：641引用：5难度：0.8

  解析

• 5．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  4

  x

  -

  5

  ．则关于x的不等式f（x）＞0的解集为（　　）

  A．（-∞，-4）∪（-1，0）∪（0，1）∪（4，+∞）

  B．（-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4）

  C．（-4，-1）∪（1，4）

  D．（-4，-1）∪（0，1）∪（4，+∞）
  组卷：420引用：2难度：0.5

  解析

• 6．已知在过去的六年中，某市燃油私家车保有量y₁（万辆）与新能源私家车保有量y₂（万辆）随着年数x（x=1，2，3，4，5，6）变化的线性回归方程分别为y₁=2.2x+27，y₂=3.5x+4．则从今年开始，预计新能源私家车保有量超过燃油私家车保有量需要经历的年数约为（　　）

  A．11

  B．12

  C．17

  D．18
  组卷：19引用：2难度：0.7

  解析

• 7．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（x-2）²+y²=1，若直线y=kx+1上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为（　　）

  A．（-∞， 3 4 ]

  B．（-∞， 2 3 ]

  C．（-∞，1]

  D．（-∞， 1 2 ]
  组卷：180引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

• 21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  3

  2

  ，短轴长为2．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N．证明：直线MN与x轴垂直．
  组卷：75引用：10难度：0.5

  解析

• 22．设函数f（x）=e^x+

  a

  x

  +

  1

  -

  3

  4

  a（x∈（-1，+∞）），其中e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯．
  （1）若a=1，求f（x）的最小值；
  （2）若a∈（0，4e），证明：f（x）＞0恒成立．
  组卷：47引用：4难度：0.6

  解析