2023-2024学年上海中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第16题每题3分，第7-12题每题4分）

• 1．向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  0

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,

  1

  ，

  2

  ）

  且

  a

  •

  b

  =

  3

  ，则x=

  ．
  组卷：55引用：4难度：0.8

  解析

• 2．已知两条相交直线a,b,a∥平面α，则b与α的位置关系是

  ．
  组卷：190引用：19难度：0.7

  解析

• 3．将一个圆心角为

  2

  π

  3

  ，面积为3π的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为

  ．
  组卷：90引用：1难度：0.8

  解析

• 4．如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）．根据我们所学的

  定理，我们可以证明书脊所在的直线AB垂直于桌面．
  
  
  组卷：46引用：3难度：0.7

  解析

• 5．已知四棱锥P-ABCD的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则该四棱锥的体积为

  ．
  组卷：27引用：2难度：0.7

  解析

• 6．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，M为棱CC₁的中点，则点M到平面A₁BD的距离是

  ．
  组卷：31引用：2难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共有4题，满分42分）

• 19．在底面为正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∠CBB₁=60°，AA₁=2AB=4．
  （1）证明：B₁C⊥A₁C₁；
  （2）求二面角C-AB-A₁的余弦值．
  组卷：185引用：4难度：0.5

  解析

• 20．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
  
  （1）已知P、Q分别为棱AB、CC₁的中点（如图1），做出过点D₁，P，Q的平面与长方体的截面．保留作图痕迹，不必说明理由；
  （2）如图2，已知AB=13，AD=5，AA₁=12，过点A且与直线CD平行的平面α将长方体分成两部分．现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，求这两个球的半径之和的最大值．
  组卷：141引用：2难度：0.5

  解析