2022-2023学年湖南省五市十校教研教改共同体高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．复数

  z

  =

  i

  3

  1

  +

  2

  i

  在复平面内所对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：43引用：1难度：0.8

  解析

• 2．某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表：
  

  年份	2019	2020	2021	2022
  年份代号x	1	2	3	4
  年销量y	15	20	m	35

  若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为

  ̂

  y

  =

  7

  x

  +

  7

  .

  5

  ，则表中m的值为（　　）

  A．25

  B．28

  C．30

  D．32
  组卷：89引用：6难度：0.7

  解析

• 3．已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=2，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）

  A． 2 3

  B． 2 2 3

  C． 4 2 3

  D． 2 2
  组卷：175引用：2难度：0.6

  解析

• 4．某校迎新晚会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（　　）

  A．60

  B．72

  C．120

  D．144
  组卷：129引用：4难度：0.7

  解析

• 5．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，3月6日各代表团分组审议政府工作报告．某媒体4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者A被安排到甲组的概率为（　　）

  A． 1 2

  B． 1 3

  C． 1 4

  D． 1 6
  组卷：67引用：4难度：0.7

  解析

• 6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（　　）

  A． C 2 3 + C 2 4 + C 2 5 + … + C 2 11 = 220

  B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等

  C．记第n行的第i个数为ai，则 n + 1 ∑ i = 1 3 i - 1 a i = 4 n

  D．第30行中第12个数与第13个数之比为13：18
  组卷：151引用：8难度：0.8

  解析

• 7．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的左焦点为F，斜率为

  -

  3

  的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且|PQ|=2|FO|，则双曲线C的离心率为（　　）

  A． 3 + 1 2

  B． 3 + 1

  C． 2 3 - 1

  D． 2 3 - 2
  组卷：112引用：3难度：0.4

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的焦距为

  2

  3

  ，F₁，F₂分别为C的左，右焦点，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，△F₂MN的周长为8．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）过点G（3，0）且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，H两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得∠ETO=∠HTG．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：130引用：5难度：0.3

  解析

• 22．已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a∈R）．
  （1）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值g（a）；
  （2）若存在正实数x₀，使得f（x₀）+（lnx₀-2a）²≤

  8

  9

  x

  2

  0

  -

  （

  16

  9

  a

  +

  2

  ）

  x

  0

  +

  26

  9

  a

  2

  +

  1

  10

  成立，求a的值．
  组卷：46引用：3难度：0.5

  解析