2022-2023学年河北省衡水十四中高二（下）期中数学试卷

一、单选题（每题5分，共8题，每题只有一个正确选项。）

• 1．我国中医药选出的“三药三方”对治疗某疾病有显著效果．若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法数为（　　）

  A．15

  B．30

  C．6

  D．9
  组卷：15引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，2S_n=a_n+1a_n，则S₂₀=（　　）

  A．55

  B．50

  C．110

  D．210
  组卷：78引用：3难度：0.6

  解析

• 3．2022年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量X～N（1000，50²）（单位：个），估计300天内每天包子的销量约在950到1100个的天数大约为（　　）
  （附：若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（u-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）

  A．236

  B．246

  C．270

  D．275
  组卷：351引用：9难度：0.7

  解析

• 4．

  （

  1

  +

  1

  x

  3

  ）

  （

  1

  -

  x

  ）

  6

  的展开式中x²的系数为（　　）

  A．6

  B．-6

  C．-9

  D．9
  组卷：60引用：2难度：0.8

  解析

• 5．为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（　　）

  A．48

  B．36

  C．24

  D．12
  组卷：273引用：4难度：0.6

  解析

• 6．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（　　）

  A．f（x）=x-sinx	B．f（x）=sinx-xcosx
  C． f （ x ） = x 2 - 1 x 2	D．f（x）=sinx+x3
  组卷：249引用：10难度：0.6

  解析

• 7．在数学王国中有许多例如π，e等美妙的常数，我们记常数p为

  lnx

  =

  1

  x

  的零点，若曲线y=e^x-a与y=lnx存在公切线，则实数a的取值范围是（　　）

  A．（-∞，p+lnp]

  B．（-∞，-p-lnp]

  C．[p+lnp,+∞）

  D．[-p-lnp,+∞）
  组卷：141引用：3难度：0.4

  解析

四、解答题（17题10分，18-22，每题12分）

• 21．某研发小组为了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量x_i和年销售额y_i的数据（i=1，2，…10），建立了两个函数模型：①y=α+βx²，②y=e^λx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．设

  u

  i

  =

  x

  2

  i

  ，v_i=lny_i（i=1，2，…10），经过计算得如下数据．
  

  x	y	10 ∑ i = 1 （ x i - x ） 2	10 ∑ i = 1 （ y i - y ） 2	10 ∑ i = 1 （ x i - x ） （ v i - v ）
  20	66	770	200	14
  u	v	10 ∑ i = 1 （ u i - u ） 2	10 ∑ i = 1 （ v i - v ） 2	10 ∑ i = 1 （ u 1 - u ） （ y i - y ）
  460	4.20	3125000	0.308	21500

  （1）设{u_i}和{y_i}的相关系数为r₁，{x_i}和{v_i}的相关系数为r₂，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
  （2）①根据（1）中选择的模型及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
  ②当年研发资金投入量约为x₀亿元时，年销售额大致为e⁴亿元，若正数a,b满足

  ab

  =

  x

  0

  8

  ，求

  M

  =

  1

  1

  +

  a

  +

  1

  1

  +

  2

  b

  的最小值．
  参考公式：相关系数

  r

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  2

  ，线性回归直线

  ̂

  y

  =

  ̂

  a

  +

  ̂

  b

  x

  中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为

  ̂

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  ，

  ̂

  a

  =

  y

  -

  ̂

  b

  x

  ．
  组卷：25引用：2难度：0.4

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1．
  （1）若m=1，求f（x）的极值；
  （2）讨论f（x）的单调性；
  （3）若对任意x＞0，有f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值．
  组卷：261引用：6难度：0.6

  解析