2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．不等式

  3

  x

  +

  4

  x

  -

  2

  ≥4的解集是

  ．
  组卷：460引用：10难度：0.6

  解析

• 2．设x∈R，则“3-x≥0”是“|x-1|≤2”的

  条件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空）
  组卷：41引用：2难度：0.9

  解析

• 3．化简

  （

  a

  2

  3

  b

  1

  4

  ）

  2

  a

  -

  1

  2

  b

  1

  3

  6

  a

  b

  5

  （其中a＞0，b＞0）=

  ．
  组卷：100引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知α、β是关于x的方程x²-2mx+m²-4=0（m∈R）的两个根，则|α-β|=

  ．
  组卷：375引用：3难度：0.8

  解析

• 5．含有三个实数的集合可表示为

  {

  a

  ,

  b

  a

  ，

  1

  }

  ，也可以示为{a²，a+b,0}，则a²⁰²³+b²⁰²⁴的值为

  ．
  组卷：37引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知函数f（x）=（m²-5m+7）x^m（x≠0）是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m=

  ．
  组卷：246引用：5难度：0.7

  解析

• 7．如果用反证法证明命题“设a,b∈R，则方程x²+ax+a-1=0至少有一个实根”，那么首先假设方程x²+ax+a-1=0
  组卷：45引用：2难度：0.9

  解析

三、解答题

• 20．已知t=ax²-（a+2）x+2．
  （1）若t＜3-2x对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
  （2）对任意a∈[-1，1]，都有t＞0成立，求x的取值范围；
  （3）若存在m＞0使关于x的方程

  a

  x

  2

  -

  （

  a

  +

  2

  ）

  |

  x

  |

  +

  2

  =

  m

  +

  1

  m

  +

  1

  有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
  组卷：30引用：1难度：0.4

  解析

• 21．记

  k

  ∑

  t

  =

  1

  a

  t

  =a₁+a₂+⋯+a_k，

  k

  ∏

  t

  =

  1

  a_t=a₁×a₂×⋯×a_k，存在正整数n,且n≥2．若集合A={a₁，a₂，⋯，a_n}满足

  n

  ∑

  t

  =

  1

  a_t=

  t

  =

  1

  k

  π

  a_t，则称集合A为“谐调集”．
  （1）分别判断集合E={1，2}、集合F={-1，0，1}是否为“谐调集”；
  （2）已知实数x、y,若集合{x,y}为“谐调集”，是否存在实数z满足z²=xy,并且使得{x,y,z}为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z,若不存在，请说明理由；
  （3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M．
  组卷：59引用：7难度：0.5

  解析