2022-2023学年河南省开封市杞县高中高一（下）第三次月考数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知复数

  z

  =

  2

  +

  3

  i

  i

  2023

  ，i为虚数单位，则复数z的共轭复数为（　　）

  A．-3+2i

  B．3-2i

  C．-3-2i

  D．3+2i
  组卷：16引用：1难度：0.8

  解析

• 2．圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（　　）

  A． 3 4

  B． 1 2

  C． 3 4

  D． 3 3 4
  组卷：560引用：7难度：0.7

  解析

• 3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（　　）

  A． 2 + 2

  B． 1 + 2

  C． 4 + 2 2

  D． 8 + 4 2
  组卷：216引用：7难度：0.9

  解析

• 4．下列命题中正确的是（　　）

  A．若 a 、 b 都是单位向量，则 a = b

  B．若 AB = DC ，则A、B、C、D四点构成平行四边形

  C．若 a ∥ b ，且 b ∥ c ，则 a ∥ c

  D． AB 与 BA 是两平行向量
  组卷：872引用：2难度：0.7

  解析

• 5．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
  
  ①样本数据落在区间[300，500）的频率为0.45；
  ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
  ③样本的中位数为480万元．
  其中正确结论的个数为（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：353引用：20难度：0.8

  解析

• 6．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的中点，则直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值为（　　）

  A． 3 5

  B． 4 5

  C． 3 4

  D． 5 5
  组卷：186引用：17难度：0.7

  解析

• 7．设向量

  a

  =（x,1），

  b

  =（1，-

  3

  ），且

  a

  ⊥

  b

  ，则向量

  a

  -

  3

  b

  与

  b

  的夹角为（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 5 π 6

  D． 2 π 3
  组卷：167引用：12难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
  （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
  （2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
  组卷：518引用：28难度：0.1

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• 22．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
  （Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
  （Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B-EN-M的余弦值

  6

  6

  ？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．
  组卷：938引用：22难度：0.7

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