2022-2023学年湖南省部分学校高三（上）联考数学试卷（12月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知z+

  z

  =4，i（z-

  z

  ）=-2，则z=（　　）

  A．-2+i

  B．2+i

  C．2-i

  D．-2-i
  组卷：45引用：8难度：0.8

  解析

• 2．定义差集M-N={x|x∈M且x∉N}，已知集合A={2，3，5}，B={3，5，8}，则A-（A∩B）=（　　）

  A．∅

  B．{2}

  C．{8}

  D．{3，5}
  组卷：120引用：6难度：0.8

  解析

• 3．“

  sinα

  =

  1

  2

  ”是“

  cos

  2

  α

  =

  1

  2

  ”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：58引用：9难度：0.8

  解析

• 4．已知某种装水的瓶内芯近似为底面半径是4dm、高是8dm的圆锥，当瓶内装满水并喝完一半，且瓶正立放置时（如图所示），水的高度约为（　　）
  （参考数据：

  3

  3

  ≈

  1

  .

  44

  ，

  3

  4

  ≈

  1

  .

  59

  ）

  A．1.62dm

  B．1.64dm

  C．3.18dm

  D．3.46dm
  组卷：52引用：7难度：0.7

  解析

• 5．若函数f（x）=（lnx）²-lnx^a在（0，8）内有2个零点，则a的取值范围为（　　）

  A．（-∞，2ln2）	B．（-∞，0）∪（0，2ln2）
  C．（-∞，3ln2）	D．（-∞，0）∪（0，3ln2）
  组卷：8引用：3难度：0.7

  解析

• 6．

  （

  x

  +

  2

  x

  -

  y

  ）

  7

  展开式中x²y⁵的系数为（　　）

  A．-21

  B．21

  C．-35

  D．35
  组卷：17引用：3难度：0.7

  解析

• 7．若2＜m＜8，椭圆C：

  x

  2

  m

  +

  y

  2

  2

  =

  1

  与椭圆D：

  x

  2

  m

  +

  y

  2

  8

  =

  1

  的离心率分别为e₁，e₂，则（　　）

  A．e1•e2的最小值为 3 2	B．e1•e2的最小值为 1 2
  C．e1•e2的最大值为 3 2	D．e1•e2的最大值为 1 2
  组卷：143引用：7难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），过点Q（1，3）作直线与C交于M，N两点，当该直线垂直于x轴时，△OMN的面积为2，其中O为坐标原点．
  （1）求C的方程；
  （2）若C的一条弦ST经过C的焦点，且直线ST与直线MN平行，试问是否存在常数Ω，使得|QM|•|QN|=Ω|ST|恒成立？若存在，求Ω的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：107引用：7难度：0.5

  解析

• 22．设g′（x）为g（x）的导函数，若g′（x）是定义域为D的增函数，则称g（x）为D上的“凹函数”，已知函数f（x）=xe^x+ax²+a为R上的凹函数．
  （1）求a的取值范围；
  （2）设函数h（x）=e^x-

  1

  2

  x

  2

  -x-1，证明：当x＞0时，h（x）＞0，当x＜0时，h（x）＜0；
  （3）证明：f（x）＞

  1

  2

  x

  3

  +

  45

  44

  x

  2

  +

  x

  +

  1

  44

  ．
  组卷：11引用：1难度：0.3

  解析