2022-2023学年北京大学附中高二（下）期中数学练习试卷

一、选择题。（每小题4分，共40分）

• 1．已知集合A={1，3，

  m

  }，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（　　）

  A．0或 3

  B．0或3

  C．1或 3

  D．1或3
  组卷：14877引用：114难度：0.9

  解析

• 2．已知x＞y＞0，则下列不等关系中正确的是（　　）

  A．cosx＞cosy	B．log3x＜log3y
  C． x 1 2 ＜ y 1 2	D． （ 1 3 ） x ＜ （ 1 3 ） y
  组卷：125引用：3难度：0.9

  解析

• 3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，已知

  S

  n

  =

  3

  n

  +

  1

  ，则a₃+a₄=（　　）

  A．81

  B．243

  C．324

  D．216
  组卷：108引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知平面向量

  a

  =

  （

  -

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  2

  ，-

  1

  2

  ）

  ，则下列关系正确的是（　　）

  A．（ a + b ）⊥ b	B．（ a + b ）⊥ a
  C．（ a + b ）⊥（ a -b）	D．（ a + b ）∥（ a - b ）
  组卷：57引用：3难度：0.8

  解析

• 5．已知f（x）=2^2x+x-2，若f（x₀）=0，则x₀所在区间为（　　）

  A． （ 0 ， 1 4 ）

  B． （ 1 4 ， 1 2 ）

  C． （ 1 2 ， 1 ）

  D．（1，2）
  组卷：91引用：3难度：0.7

  解析

• 6．某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（　　）

  A．18

  B．24

  C．36

  D．42
  组卷：1147引用：11难度：0.7

  解析

• 7．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（　　）

  A． 16 33

  B． 33 128

  C． 32 33

  D． 4 11
  组卷：194引用：9难度：0.9

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三、简答题。（共85分）

• 20．已知函数f（x）=

  x

  -

  a

  lnx

  ，a∈R．
  （Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
  （Ⅱ）对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞

  x

  恒成立，求a的取值范围．
  组卷：190引用：4难度：0.5

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• 21．已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
  （Ⅰ）若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N^*，a_n+4=a_n），写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
  （Ⅱ）设d是非负整数，证明：d_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
  （Ⅲ）证明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），则{a_n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
  组卷：766引用：9难度：0.3

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