2022-2023学年上海市闵行区七宝中学高二（上）开学数学试卷

一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  5

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  2

  ，

  3

  ）

  ，

  c

  =

  （

  4

  ，-

  1

  ，-

  3

  ）

  ，则向量

  2

  a

  -

  3

  b

  +

  4

  c

  的坐标为

  ．
  组卷：169引用：4难度：0.7

  解析

• 2．一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为

  ．
  组卷：108引用：4难度：0.9

  解析

• 3．

  a

  =（1，-1，3），

  b

  =（-1，4，-2），

  c

  =（1，5，x），若

  a

  ，

  b

  ，

  c

  三向量共面，则实数x=

  ．
  组卷：240引用：8难度：0.8

  解析

• 4．平面α外有两点A、B，若A、B到平面α的距离相等，则直线AB与平面α的关系是

  ．
  组卷：51引用：4难度：0.7

  解析

• 5．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为

  ．
  组卷：113引用：3难度：0.8

  解析

• 6．如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°，AA₁=2，则线段AC₁的长为

  ．
  组卷：99引用：7难度：0.6

  解析

• 7．已知四面体ABCD中，E、F、G分别为BC、AD、BD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为

  π

  3

  ，则∠FGE=

  ．
  组卷：37引用：4难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共有5题。满分76分）

• 20．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O₁，AC∩MN=G，沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．
  （1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
  （2）当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和半面MNDB所成角的正弦值；
  （3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角Q-MN-P余弦值的绝对值为

  10

  10

  ？指存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：121引用：5难度：0.6

  解析

• 21．已知四棱锥T-ABCD的底面是平行四边形，平面α与直线AD，TA，TC分别交于点P，Q，R且

  AP

  AD

  =

  TQ

  TA

  =

  CR

  CT

  =x,点M在直线TB上，N为CD的中点，且直线MN∥平面α．
  （Ⅰ）设

  TA

  =

  a

  ，

  TB

  =

  b

  ，

  TC

  =

  c

  ，试用基底{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }表示向量

  TD

  ；
  （Ⅱ）证明：四面体TABC中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱能够组成一个三角形；
  （Ⅲ）证明：对所有满足条件的平面α，点M都落在某一条长为

  5

  2

  TB的线段上．
  组卷：180引用：4难度：0.5

  解析