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2023-2024学年河南省平许济洛高三（上）第一次质检数学试卷

发布：2024/9/20 9:0:9

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．设全集U=R，集合A={y|y=2^x}，B={x|x²-3x+2＜0}，则A∩（∁_UB）=（　　）
A．[2，+∞） B．（0，+∞） C．（0，1] D．（0，1]∪[2，+∞）
组卷：35引用：2难度：0.8
解析
2．复数z满足i²⁰²³（2+z）=2-i,则
z
=（　　）
A．-1+2i B．1+2i C．-1-2i D．1-2i
组卷：282引用：10难度：0.7
解析
3．已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的离心率为
1
2
，
A
1
，
A
2
分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若
B
A
1
•
B
A
2
=
-
2
，则椭圆C的方程为（　　）
A．
x
2
16
+
y
2
12
=
1
B．
x
2
8
+
y
2
6
=
1
C．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
D．
x
2
2
+
2
y
2
3
=
1
组卷：348引用：3难度：0.5
解析
4．过圆x²+y²=4内点P（1，1）有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列{a_n}，且
d
∈
（
1
6
，
1
3
）
，其中a₁，a_n分别为过点P的圆的最短弦长和最长弦长，则n的取值集合为（　　）
A．{4，5，6} B．{5，6，7} C．{5，6，7，8} D．{6，7，8，9}
组卷：37引用：2难度：0.5
解析
5．如图，正方形ABCD中，
DE
=
2
EC
，
P
是线段BE上的动点，且
AP
=
x
AB
+
y
AD
（
x
＞
0
，
y
＞
0
）
，则
1
x
+
1
y
的最小值为（　　）
A．
2
2
B．
2
3
C．
4
+
2
3
3
D．4
组卷：139引用：2难度：0.6
解析
6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）+f（x）=0，且f（x）在[-2，0]上单调递增．若
a
=
f
（
tan
5
π
18
）
，
b
=
f
（
3
）
，
c
=
f
（
lo
g
4
3
）
，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
组卷：41引用：3难度：0.6
解析
7．2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为
2
5
和
3
5
．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为
3
5
；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为
1
2
．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（　　）
A．
23
50
B．
1
2
C．
2
5
D．
5
9
组卷：116引用：3难度：0.6
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．已知函数
f
（
x
）
=
x
-
lnx
+
m
,
g
（
x
）
=
x
e
x
．
（1）若函数f（x）和g（x）的图象都与平行于x轴的同一条直线相切，求m的值；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）有两个零点x₁，x₂，证明：
e
x
1
•
e
x
2
＞
e
2
．
组卷：47引用：2难度：0.4
解析
22．已知抛物线C：x²=-4y,直线l垂直于y轴，与C交于M，N两点，O为坐标原点，过点N且平行于y轴的直线与直线OM交于点P，记动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）点A在直线y=-1上运动，过点A作曲线E的两条切线，切点分别为P₁，P₂，在平面内是否存在定点B，使得AB⊥P₁P₂？若存在，请求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由．
组卷：86引用：2难度：0.2
解析

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A． x 2 16 + y 2 12 = 1	B． x 2 8 + y 2 6 = 1
C． x 2 4 + y 2 3 = 1	D． x 2 2 + 2 y 2 3 = 1

2023-2024学年河南省平许济洛高三（上）第一次质检数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．设全集U=R，集合A={y|y=2x}，B={x|x2-3x+2＜0}，则A∩（∁UB）=（ ）

2．复数z满足i2023（2+z）=2-i,则z=（ ）

3．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1•BA2=-2，则椭圆C的方程为（ ）

4．过圆x2+y2=4内点P（1，1）有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列{an}，且d∈（16，13），其中a1，an分别为过点P的圆的最短弦长和最长弦长，则n的取值集合为（ ）

5．如图，正方形ABCD中，DE=2EC，P是线段BE上的动点，且AP=xAB+yAD（x＞0，y＞0），则1x+1y的最小值为（ ）

6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）+f（x）=0，且f（x）在[-2，0]上单调递增．若a=f（tan5π18），b=f（3），c=f（log43），则（ ）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．已知函数f（x）=x-lnx+m,g（x）=xex．（1）若函数f（x）和g（x）的图象都与平行于x轴的同一条直线相切，求m的值；（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）有两个零点x1，x2，证明：ex1•ex2＞e2．

1．设全集U=R，集合A={y|y=2^x}，B={x|x²-3x+2＜0}，则A∩（∁_UB）=（　　）

2．复数z满足i²⁰²³（2+z）=2-i,则
z
=（　　）

3．已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的离心率为
1
2
，
A
1
，
A
2
分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若
B
A
1
•
B
A
2
=
-
2
，则椭圆C的方程为（　　）

4．过圆x²+y²=4内点P（1，1）有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列{a_n}，且
d
∈
（
1
6
，
1
3
）
，其中a₁，a_n分别为过点P的圆的最短弦长和最长弦长，则n的取值集合为（　　）

5．如图，正方形ABCD中，
DE
=
2
EC
，
P
是线段BE上的动点，且
AP
=
x
AB
+
y
AD
（
x
＞
0
，
y
＞
0
）
，则
1
x
+
1
y
的最小值为（　　）

6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）+f（x）=0，且f（x）在[-2，0]上单调递增．若
a
=
f
（
tan
5
π
18
）
，
b
=
f
（
3
）
，
c
=
f
（
lo
g
4
3
）
，则（　　）

21．已知函数
f
（
x
）
=
x
-
lnx
+
m
,
g
（
x
）
=
x
e
x
．
（1）若函数f（x）和g（x）的图象都与平行于x轴的同一条直线相切，求m的值；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）有两个零点x₁，x₂，证明：
e
x
1
•
e
x
2
＞
e
2
．