2023-2024学年山西大学附中高三（上）第一次月考数学试卷（开学）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

• 1．已知复数z₁，z₂在复平面内对应的点分别为（2，1），（1，-b），若z₁z₂是纯虚数，则b=（　　）

  A．-2

  B． 1 2

  C． - 1 2

  D．2
  组卷：28引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知p：-4＜x-a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

  A．[-1，6]	B．（-∞，-1]
  C．[6，+∞）	D．（-∞，-1]∪[6，+∞）
  组卷：188引用：3难度：0.9

  解析

• 3．若函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  （

  1

  5

  ）

  x

  2

  +

  ax

  在[1，2]单调递减，则a的取值范围（　　）

  A．a≤-4

  B．a≤-2

  C．a≥-2

  D．a≥-4
  组卷：16引用：2难度：0.7

  解析

• 4．若向量

  a

  =

  （

  x

  +

  1

  ，

  2

  x

  ）

  和向量

  b

  =

  （

  1

  ，

  1

  ）

  平行，则

  |

  a

  -

  b

  |

  =（　　）

  A． 10

  B． 5

  C． 2

  D． 2 2
  组卷：72引用：1难度：0.8

  解析

• 5．若点P（-1，2）是圆C：（x+4）²+（y-3）²=25的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为（　　）

  A．3x-y-5=0

  B．x+3y-5=0

  C．3x-y+5=0

  D．x+3y+5=0
  组卷：260引用：2难度：0.5

  解析

• 6．等差数列{a_n}的公差为-2，前n项为S_n，若数列{S_n}的最大项是第20项和第21项，则a₁₀=（　　）

  A．18

  B．20

  C．22

  D．24
  组卷：276引用：4难度：0.7

  解析

• 7．已知

  sinα

  -

  sinβ

  =

  -

  2

  3

  ，

  cosα

  -

  cosβ

  =

  2

  3

  ，且

  α

  ，

  β

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，则tan（α-β）的值为（　　）

  A． - 2 14 5

  B． ± 2 14 5

  C． 5 2

  D． ± 5 2
  组卷：283引用：8难度：0.6

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F（-1，0）的直线与椭圆交于C，D两点（其中C点位于x轴上方），当CD垂直于x轴时，|CD|=3．
  （1）求椭圆的方程；
  （2）记直线AC，BD的斜率分别为k₁，k₂，求

  k

  1

  +

  1

  k

  2

  的最小值．
  组卷：142引用：4难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=

  e

  x

  -

  1

  x

  2

  -

  a

  （

  lnx

  +

  2

  x

  ）

  （

  a

  ∈

  R

  ）

  ．
  （1）若a=1，求f（x）的单调区间；
  （2）若f（x）在（0，2）上有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
  ①求实数a的取值范围；
  ②求证：x₁x₂＜1．
  组卷：203引用：4难度：0.2

  解析