2023-2024学年上海市杨浦区复旦大学附中高二（上）开学数学试卷（9月份）

一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

• 1．已知集合A={y|y=-x²+2，x∈R}，B={x|x＞-1，x∈N}，那么A∩B=

  ．
  组卷：73引用：1难度：0.7

  解析

• 2．若复数

  z

  =

  a

  -

  2

  i

  2

  +

  i

  是纯虚数，则实数a=

  ．
  组卷：67引用：5难度：0.8

  解析

• 3．已知a、b∈R，且a²+9b²=1，则ab的最大值是

  ．
  组卷：113引用：1难度：0.8

  解析

• 4．若等腰三角形顶角的正弦值为

  24

  25

  ，则底角的余弦值为

  ．
  组卷：81引用：5难度：0.5

  解析

• 5．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S₁，圆面中剩余部分的面积为S₂，当S₁与S₂的比值为

  5

  -

  1

  2

  时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为

  ．
  组卷：185引用：4难度：0.7

  解析

• 6．已知定义域为R的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上为严格减函数，且f（2）=0，则不等式

  f

  （

  x

  +

  1

  ）

  x

  -

  1

  ≥

  0

  的解集为

  ．
  组卷：85引用：5难度：0.8

  解析

• 7．已知函数y=a+cosωx,x∈[-π，π]（其中，a,ω为常数，且ω＞0）有且仅有3个零点，则ω的最小值是

  ．
  组卷：451引用：4难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

• 20．已知函数f（x）=2^x+

  a

  2

  x

  ，a为实常数．
  （1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
  （2）若x∈[0，1]时，f（x）的最小值为2，求a的值；
  （3）若方程f（x）=6有两个不等的实根x₁，x₂，且|x₁-x₂|≤1，求a的取值范围．
  组卷：113引用：2难度：0.4

  解析

• 21．若函数f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，

  φ

  ∈

  [

  0

  ，

  π

  2

  ]

  ，f（x）+f（-x）的最大值为1．
  （1）求φ的值；
  （2）若函数f（x）在[1，2]内没有对称轴，求ω的取值范围；
  （3）若函数f（x）满足f（x）=f（x+12）恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求ω的最小值．
  组卷：438引用：3难度：0.4

  解析