2023-2024学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x|log₂x＞0}，B={y|y=2^x，x≤0}，则A∪B=（　　）

  A．∅

  B．{x|x＞0}

  C．{x|0＜x≤1}

  D．{x|x＞1}
  组卷：112引用：7难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z=a+i（a＞0，i是虚数单位），若

  |

  z

  |

  =

  10

  ，则

  1

  z

  的虚部是（　　）

  A． 1 10

  B． - 1 10

  C． 1 10 i

  D． - 1 10 i
  组卷：25引用：3难度：0.8

  解析

• 3．下列命题错误的是（　　）

  A．“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

  B．“ x = kπ 4 ，k∈Z”是“tanx=1”的必要不充分条件

  C．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p是：∀x∈R，均有x2+x+1≥0

  D．命题“∃x∈R， x + 1 x ≥ 2 ”的否定形式是“∀x∈R， x + 1 x ＞ 2 ”
  组卷：147引用：2难度：0.5

  解析

• 4．已知扇形的周长为10cm,面积为4cm²，则该扇形圆心角的弧度数为（　　）

  A． π 4

  B． 1 4

  C． 1 2

  D． 1 2 或8
  组卷：581引用：6难度：0.9

  解析

• 5．在空间中，l,m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）

  A．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m

  B．若l∥m,m⊂β，则l∥β

  C．若α⊥β，α∩β=m,l⊥m,则l⊥β

  D．若l⊥α，l∥m,α∥β，则m⊥β
  组卷：259引用：11难度：0.7

  解析

• 6．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sinx

  •

  ln

  x

  -

  1

  x

  +

  1

  的大致图象为（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：304引用：11难度：0.7

  解析

• 7．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：
  977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，
  431，257，394，027，556，488，730，113，537，908．
  由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（　　）

  A．0.6

  B．0.7

  C．0.75

  D．0.8
  组卷：150引用：11难度：0.8

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC=CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD．
  （1）求证：PD⊥平面ABCD；
  （2）若PD=1，求二面角C-PB-D的平面角的余弦值．
  组卷：113引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=2^x-2^-x，g（x）=log₂x.
  （1）若对任意的x∈（0，1），f（g（x））＜kx恒成立，求实数k的取值范围；
  （2）设函数

  h

  （

  x

  ）

  =

  g

  （

  x

  ）

  +

  sin

  πx

  4

  ，h（x）在区间（0，+∞）上连续不断，证明：函数h（x）有且只有一个零点x₀，且

  f

  （

  sin

  π

  x

  0

  4

  ）

  ＜

  5

  6

  ．
  组卷：40引用：4难度：0.4

  解析