2022-2023学年北京理工大学附中高三（下）开学数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

• 1．已知集合A={x∈Z|x²≤9}，B={x|x＞-2}，则A∩B=（　　）

  A．{0，1，2，3}

  B．{1，2，3}

  C．{-1，0，1，2，3}

  D．{x|-2＜x≤3}
  组卷：210引用：7难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z=

  2

  i

  1

  -

  i

  （

  i

  为虚数单位），则在复平面上复数z对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：102引用：1难度：0.7

  解析

• 3．在（x+a）⁵（其中a≠0）的展开式中，x²的系数与x³的系数相同，则a的值为（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  组卷：141引用：5难度：0.7

  解析

• 4．已知圆x²+y²=4截直线y=kx+2所得弦的长度为

  2

  3

  ，则实数k=（　　）

  A． 2

  B． - 3

  C． ± 2

  D． ± 3
  组卷：498引用：7难度：0.7

  解析

• 5．已知函数f（x）=

  2 x - 1 ， 0 ＜ x ＜ 2

  6 - x , x ≥ 2

  ，那么不等式f（x）≥

  x

  的解集为（　　）

  A．（0，1]

  B．（0，2]

  C．[1，4]

  D．[1，6]
  组卷：348引用：5难度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，C=90°，AC=4，BC=3，点P是AB的中点，则

  CB

  •

  CP

  =（　　）

  A． 9 4

  B．4

  C． 9 2

  D．6
  组卷：1033引用：14难度：0.7

  解析

• 7．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  cos

  （

  ωx

  +

  π

  6

  ）

  （ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）满足（　　）

  A．在 （ 0 ， π 3 ） 上单调递增	B．图象关于直线 x = π 6 对称
  C． f （ π 3 ） = 3 2	D．当 x = 5 π 12 时有最小值-1
  组卷：1026引用：8难度：0.7

  解析

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  （a＞0）的焦点在x轴上，且经过点E（1，

  3

  2

  ），左顶点为D，右焦点为F．
  （Ⅰ）求椭圆C的离心率和△DEF的面积；
  （Ⅱ）已知直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线y=t（t＞

  3

  ）的垂线，垂足为G．判断是否存在常数t,使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：685引用：7难度：0.6

  解析

• 21．已知各项均为整数的数列A_N：a₁，a₂，…，a_N（N≥3，N∈N*）满足a₁a_N＜0，且对任意i=2，3，…，N，都有|a_i-a_i-1|≤1．记S（A_N）=a₁+a₂+…+a_N．
  （Ⅰ）若a₁=3，写出一个符合要求的A₆；
  （Ⅱ）证明：数列A_N中存在a_k使得a_k=0；
  （Ⅲ）若S（A_N）是N的整数倍，证明：数列A_N中存在a_r，使得S（A_N）=N•a_r．
  组卷：224引用：6难度：0.2

  解析