2023-2024学年黑龙江省哈尔滨工业大学附中高二（上）开学数学试卷

一、单项选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）

• 1．某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（　　）

  A．14

  B．16

  C．28

  D．32
  组卷：138引用：3难度：0.9

  解析

• 2．已知i为虚数单位，若复数

  1

  +

  i

  1

  -

  i

  =a+bi（a,b∈R），则a+b=（　　）

  A．-i

  B．i

  C．-1

  D．1
  组卷：148引用：9难度：0.9

  解析

• 3．如图，点D为△ABC的边AC上靠近点C的三等分点，

  DE

  =

  1

  4

  DB

  ，设

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，则

  AE

  =（　　）
  

  A． 1 4 a + 1 2 b

  B． 1 2 a + 1 4 b

  C． 1 4 a + 1 3 b

  D． 1 3 a + 1 2 b
  组卷：316引用：7难度：0.7

  解析

• 4．PM_2.5是衡量空气质量的重要指标，如图是某地6月1日至10日的PM_2.5日均值（单位：μg/m³）的折线图，则下列关于这10天中PM_2.5日均值的说法错误的是（　　）

  A．众数为30	B．中位数为31.5
  C．平均数小于中位数	D．极差为109
  组卷：42引用：3难度：0.7

  解析

• 5．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a=2ccosB，

  ccos

  B

  +

  bcos

  C

  =

  2

  c

  ，则△ABC的形状是（　　）

  A．等腰非直角三角形	B．直角非等腰三角形
  C．等边三角形	D．等腰直角三角形
  组卷：81引用：4难度：0.6

  解析

• 6．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，点M在棱CC₁上运动，则A₁M+BM的最小值为（　　）

  A． 2 2

  B．4

  C． 2 5

  D． 2 + 2 2
  组卷：33引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且

  2

  AO

  =

  AB

  +

  AC

  ，

  |

  OA

  |

  =

  |

  AC

  |

  ，则向量

  BA

  在向量

  BC

  上的投影向量为（　　）

  A． 3 2 BC

  B． 3 4 BC

  C． - 3 2 BC

  D． - 3 4 BC
  组卷：103引用：4难度：0.5

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分．）

• 21．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
  （1）证明：PB∥平面AEC；
  （2）设三棱锥E-ACD的体积是

  3

  8

  ，AP=1，AD=

  3

  ，求平面DAE与AEC的夹角．
  组卷：60引用：7难度：0.6

  解析

• 22．如图所示，某小区内有A，B，C，D四栋楼，在C栋楼处测得AC=a米，∠BAC=30°，∠BAD=90°，∠BCD=45°，∠DCA=30°．
  （1）求BD两栋楼间的距离；
  （2）若小区决定沿BD方向取E，F两点与A建设一个三角形花园，且始终满足∠EAF=45°，求△AEF面积的最小值．
  组卷：33引用：2难度：0.5

  解析