2023-2024学年福建省泉州市南安市侨光中学高二（上）第一次段考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

• 1．已知向量

  a

  =（-1，2，1），

  b

  =（3，x,1），且

  a

  ⊥

  b

  ，那么|

  b

  |等于（　　）

  A． 10

  B．2 3

  C． 11

  D．5
  组卷：529引用：34难度：0.9

  解析

• 2．已知直线l₁：mx+2y-2=0与直线l₂：5x+（m+3）y-5=0，若l₁∥l₂，则m=（　　）

  A．-5

  B．2

  C．2或-5

  D．5
  组卷：370引用：24难度：0.7

  解析

• 3．若圆C与圆（x+2）²+（y-1）²=1关于直线y=x-1对称，则圆C的方程是（　　）

  A．（x-2）2+（y+3）2=1	B．（x-2）2+（y-3）2=1
  C．（x+2）2+（y+3）2=1	D．（x+3）2+（y-2）2=1
  组卷：232引用：4难度：0.7

  解析

• 4．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  3

  ，

  5

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  2

  ，

  4

  ）

  ，则向量

  a

  在向量

  b

  上的投影向量

  c

  =（　　）

  A．（2，4，8）	B． （ 4 3 ， 8 3 ， 16 3 ）
  C．（1，2，4）	D．（2，4，4）
  组卷：25引用：3难度：0.8

  解析

• 5．已知双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  3

  2

  ，且与椭圆

  x

  2

  12

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  有公共焦点，则C的方程为（　　）

  A． x 2 8 - y 2 10 = 1

  B． x 2 4 - y 2 5 = 1

  C． x 2 5 - y 2 4 = 1

  D． x 2 12 - y 2 3 = 1
  组卷：89引用：2难度：0.6

  解析

• 6．已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=0，该双曲线的焦点为（　　）

  A．（±2 3 ，0）

  B．（±4 3 ，0）

  C．（±2 5 ，0）

  D．（±4 5 ，0）
  组卷：143引用：3难度：0.7

  解析

• 7．圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为

  2

  3

  ，则圆C的标准方程为（　　）

  A．（x-2）2+（y+1）2=4	B．（x+2）2+（y+1）2=4
  C．（x-2）2+（y-1）2=4	D．（x+2）2+（y-1）2=4
  组卷：531引用：5难度：0.8

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．如图，由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁和四棱锥D-BB₁C₁C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB₁=2，DC₁=DC=

  5

  ，平面CC₁D⊥平面ACC₁A₁．
  （Ⅰ）M为三角形DCC₁内（含边界）的一个动点，且AM⊥DC₁，求M的轨迹的长度；
  （Ⅱ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB₁D所成角的正弦值为

  3

  4

  ？若存在，求

  BP

  BC

  的值；若不存在，说明理由．
  组卷：101引用：4难度：0.5

  解析

• 22．已知椭圆

  C

  ：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  1

  2

  ，以椭圆长轴，短轴四个端点为顶点的四边形的面积为

  4

  3

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设点M（t,4），记椭圆的上下顶点分别为A和B，直线AM交椭圆于A，P两点，直线BM交椭圆于B，Q两点，记△APB和△AQB的面积分别为S₁和S₂，当t∈[1，3]时，求

  S

  1

  S

  2

  的取值范围．
  组卷：21引用：2难度：0.5

  解析