2022-2023学年湖南省长沙一中高二（下）第三次段考数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．若i（1-z）=1，则

  z

  •

  z

  =（　　）

  A．1

  B．-1

  C．2

  D．-2
  组卷：23引用：2难度：0.8

  解析

• 2．在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为

  3

  2

  ，则α的一个可能取值为（　　）

  A．-60°

  B．-30°

  C．45°

  D．60°
  组卷：468引用：5难度：0.8

  解析

• 3．已知函数y=f（x+1）为奇函数，则函数y=f（x）+1的图象（　　）

  A．关于点（1，1）对称	B．关于点（1，-1）对称
  C．关于点（-1，1）对称	D．关于点（-1，-1）对称
  组卷：263引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知向量

  a

  =（3，4），

  b

  =（1，0），

  c

  =

  a

  +t

  b

  ，若＜

  a

  ，

  c

  ＞=＜

  b

  ，

  c

  ＞，则t=（　　）

  A．-6

  B．-5

  C．5

  D．6
  组卷：5207引用：25难度：0.7

  解析

• 5．我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为

  T

  （

  n

  ）

  =

  1

  4

  n

  （

  n

  +

  1

  ）

  （

  n

  +

  3

  ）

  （单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（　　）

  A．7年

  B．8年

  C．9年

  D．10年
  组卷：35引用：4难度：0.6

  解析

• 6．如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为

  500

  π

  3

  ，则该圆台的侧面积和体积分别为（　　）

  A．35π， 259 π 3

  B．35π，259π

  C． 35 2 π ，259π

  D． 35 2 π ， 259 π 3
  组卷：80引用：2难度：0.5

  解析

• 7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“数学方法论”，“几何原本”，“什么是数学”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　）

  A．150种

  B．210种

  C．300种

  D．360种
  组卷：57引用：2难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．设a∈R，函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  cos

  2

  x

  -

  cos

  （

  π

  2

  +

  x

  ）

  +

  a

  +

  1

  2

  ，

  x

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  ．
  （1）讨论函数f（x）的零点个数；
  （2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，求证：

  x

  1

  +

  x

  2

  ＞

  3

  π

  2

  ．
  组卷：27引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知x₁，x₂是方程e^x-ax=ln（ax）-x的两个实根，且x₁＜x₂．
  （1）求实数a的取值范围；
  （2）已知f（x）=ax,g（x）=ln（1+x）-cosx+2，若存在正实数x₃，使得f（x₁）=g（x₃）成立，证明：x₁＜x₃．
  组卷：175引用：4难度：0.3

  解析