2022-2023学年天津市南开中学高一（下）期末数学试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.

• 1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：198引用：1难度：0.8

  解析

• 2．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（　　）

  A．34

  B．35

  C．36

  D．37
  组卷：236引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m,n,则下列四个命题中正确的是（　　）

  A．若m∥α，α∩β=n,则m∥n

  B．若α∩β=n,m⊂α，m⊥n,则α⊥β

  C．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ

  D．若α∩β=m,m⊥γ，则α⊥γ
  组卷：202引用：7难度：0.6

  解析

• 4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（　　）

  A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球

  B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球

  C．事件A：3个球中至多有2个红球；事件B：3个球中至少有2个白球

  D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
  组卷：336引用：1难度：0.7

  解析

• 5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为

  1

  2

  ，

  3

  4

  ，

  2

  5

  ，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（　　）

  A． 17 20

  B． 31 40

  C． 37 40

  D． 19 20
  组卷：332引用：1难度：0.8

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三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

• 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知

  a

  cos

  A

  =

  b

  +

  c

  cos

  B

  +

  cosc

  ．
  （Ⅰ）求A；
  （Ⅱ）已知a=3，
  （i）若△ABC的面积为

  3

  2

  ，求△ABC的周长：
  （ii）求△ABC周长的取值范围．
  组卷：338引用：1难度：0.6

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• 17．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=AD=AA₁，过A₁作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C₁D₁的中点．
  （Ⅰ）证明D，M，B₁，N 四点共面，且AD₁∥平面DMB₁N；
  （Ⅱ）证明直线A₁C与平面DMB₁N不垂直；
  （Ⅲ）若AC₁⊥平面A₁BD，求∠BAA₁的大小．
  ​
  组卷：176引用：1难度：0.4

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