2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）入学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={x|-1＜x≤2}，B={-1，0，1}，则A∩B=（　　）

  A．{-1，0，1}

  B．{-1，0}

  C．{0，1}

  D．{0，1，2}
  组卷：123引用：8难度：0.9

  解析

• 2．已知（1-ai）（2+i）=b+3i（i为虚数单位），其中a,b为实数，则a,b的值分别为（　　）

  A．-1，1

  B．1，-1

  C．1，1

  D．-1，-1
  组卷：27引用：3难度：0.8

  解析

• 3．P是双曲线

  x

  2

  16

  -

  y

  2

  20

  =

  1

  上一点，F₁，F₂分别是双曲线左右焦点，若|PF₁|=9，则|PF₂|=（　　）

  A．1	B．17
  C．1或17	D．以上答案均不对
  组卷：241引用：32难度：0.7

  解析

• 4．为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（　　）

  A．36

  B．42

  C．50

  D．54
  组卷：38引用：3难度：0.8

  解析

• 5．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为

  2

  π

  3

  ，弧长为2π的扇形，则该圆锥轴截面的面积S=（　　）

  A． 2

  B．2 2

  C． 5

  D．2 5
  组卷：28引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知

  cos

  （

  π

  4

  -

  α

  ）

  =

  3

  5

  ，

  sin

  （

  5

  π

  4

  +

  β

  ）

  =

  -

  12

  13

  ，

  α

  ∈

  （

  π

  4

  ，

  3

  π

  4

  ）

  ，

  β

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  4

  ）

  ，则sin（α+β）的值为（　　）

  A． - 16 65

  B． 56 65

  C． - 63 65

  D． 33 65
  组卷：661引用：6难度：0.7

  解析

• 7．某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是

  1

  2

  ，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（　　）

  A． 9 128

  B． 5 64

  C． 11 128

  D． 3 32
  组卷：371引用：6难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，点B是椭圆C的上顶点，△BF₁F₂是等边三角形，△BF₁F₂的内切圆的面积为

  π

  3

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）已知T在x轴负半轴上且|OT|=4|OF₁|，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求△MNF₁面积的最大值．
  组卷：109引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  e

  x

  -

  t

  -

  t

  ．
  （1）若f（x）在（t,f（t））处的切线方程平行于直线x-y+1=0，求t的值以及此时的切线方程；
  （2）若方程f（x）=x在（0，+∞）上有两个不同的实数根，求实数t的取值范围．
  组卷：31引用：2难度：0.3

  解析