2023-2024学年北京五十五中高三（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＞0}，则A∪B=（　　）

  A．[-2，3]

  B．[0，3]

  C．（0，+∞）

  D．[-2，+∞）
  组卷：316引用：6难度：0.8

  解析

• 2．已知i是虚数单位，则

  2

  -

  i

  1

  +

  2

  i

  =（　　）

  A．-i

  B． 4 5 + 3 5 i

  C．-1

  D． 4 5 -i
  组卷：29引用：7难度：0.9

  解析

• 3．下列函数中，既是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）

  A．y=log2x

  B．y=2|x|+1

  C．y=sinx

  D．y=-x2
  组卷：36引用：2难度：0.7

  解析

• 4．

  （

  2

  x

  3

  -

  1

  x

  ）

  7

  的展开式中常数项是（　　）

  A．14

  B．-14

  C．42

  D．-42
  组卷：291引用：9难度：0.9

  解析

• 5．已知两条直线m,n,两个平面α，β，下面说法正确的是（　　）

  A． α ⊥ β m ⊂ α n ⊂ β ⇒ m ⊥ n	B． α ∥ β m ⊂ α n ⊂ β ⇒ m ∥ n
  C． α ⊥ β m ⊂ α ⇒ m ⊥ β	D． α ∥ β m ⊂ α ⇒ m ∥ β
  组卷：125引用：3难度：0.5

  解析

• 6．在△ABC中“

  BA

  •

  BC

  =

  CA

  •

  CB

  ”是“△ABC是等腰三角形”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分又不必要条件
  组卷：90引用：2难度：0.7

  解析

• 7．函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向左平移

  π

  3

  个单位长度，所得图象经过点

  （

  2

  π

  3

  ，

  0

  ）

  ，则ω的最小值是（　　）

  A． 3 2

  B．2

  C．1

  D． 1 2
  组卷：101引用：1难度：0.5

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 20．已知函数f（x）=x-alnx,

  g

  （

  x

  ）

  =

  -

  1

  +

  a

  x

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  ．
  （1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=1，求实数a的值；
  （2）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间与极值；
  （3）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．
  组卷：59引用：2难度：0.2

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• 21．约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（m≠0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
  设正整数a共有k个正约数，即为a₁，a₂，…，a_k-1，a_k（a₁＜a₂＜...＜a_k）．
  （Ⅰ）当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
  （Ⅱ）当k≥4时，若a₂-a₁，a₃-a₂，...a_k-a_k-1构成等比数列，求正整数a；
  （Ⅲ）记A=a₁a₂+a₂a₃+...+a_k-1a_k，求证：A＜a²．
  组卷：477引用：15难度：0.3

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