2023-2024学年河北省保定市重点高中高三（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知复数z满足

  z

  （

  1

  -

  i

  ）

  =

  i

  ，则z的虚部为（　　）

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． - 1 2 i

  D． 1 2 i
  组卷：545引用：5难度：0.9

  解析

• 2．已知集合A={x∈Z|x²+x-2＜0}，B={x∈N|0≤log₂（x+1）＜2}，则A∪B的真子集的个数为（　　）

  A．16

  B．15

  C．14

  D．8
  组卷：636引用：7难度：0.9

  解析

• 3．已知单位向量

  a

  ，

  b

  满足（2

  a

  +

  b

  ）⊥

  b

  ，则

  a

  与

  b

  的夹角为（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  组卷：765引用：6难度：0.8

  解析

• 4．已知直线l₁：2x-ay+1=0，l₂：（a-1）x-y+a=0，则“a=2”是“l₁∥l₂”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：2141引用：20难度：0.8

  解析

• 5．在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上．这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华．他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点．把学生现在的学习情况看作1．每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为（1+3%）¹²⁰≈34.711，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为（1-3%）¹²⁰≈0.026，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步“的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：lg103≈2.013，lg97≈1.987）（　　）

  A．28

  B．38

  C．60

  D．100
  组卷：268引用：5难度：0.8

  解析

• 6．如图，在三棱锥P-ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60°，E，F分别为棱PA，BC的中点，若AC=2，PB=4，则EF=（　　）
  ​

  A． 3

  B．2

  C． 3 或 7

  D．2或 7
  组卷：692引用：8难度：0.7

  解析

• 7．已知抛物线Γ：y²=-2px（p＞0）的焦点为F，准线m与坐标轴交于点F₁，过点F的直线l与Γ及准线m依次相交于A，B，C三点（点B在点A，C之间），若

  |

  BF

  |

  =

  1

  3

  |

  FC

  |

  ，|AF|=6，则△F₁AB的面积等于（　　）

  A． 2 3

  B． 3 3

  C． 4 3

  D． 6 3
  组卷：227引用：1难度：0.5

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．x.已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为2，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点A为C的渐近线上一点，|AF₂|的最小值为

  3

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）过C的左顶点B且斜率为k（k≠0）的直线l交C的右支于点P，与直线

  x

  =

  1

  2

  交于点Q，过F₁且平行于QF₂的直线交直线PF₂于点M，证明：点M在定圆上．
  组卷：266引用：1难度：0.5

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• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sinx

  +

  1

  e

  π

  -

  a

  e

  x

  ，a∈R．
  （1）当a=-1时，证明：f（x）＞1在[-π，0]上恒成立；
  （2）当a=1时，求f（x）在[π，2π]内的零点个数．
  组卷：327引用：2难度：0.5

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