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2015-2016学年湖南省名校联盟实验班高二（下）入学数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
组卷：1411引用：10难度：0.5
解析
2．已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得
a
m
a
n
=4a₁，则
1
m
+
4
n
的最小值为（　　）
A．
3
2
B．
5
3
C．
9
4
D．
25
6
组卷：3016引用：49难度：0.9
解析
3．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域
x
-
2
≤
0
x
+
y
≥
0
x
-
3
y
+
4
≥
0
中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（　　）
A．2
2
B．4 C．3
2
D．6
组卷：2387引用：6难度：0.9
解析
4．已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
OA
•
OB
=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．
17
2
8
D．
10
组卷：3513引用：48难度：0.7
解析
5．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=
5
4
sin
（
π
2
x
）
（
0
≤
x
≤
1
）
（
1
4
）
x
+
1
（
x
＞
1
）
若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a,b∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-
5
2
，-
9
4
） B．（-
9
4
，-1）
C．（-
5
2
，-
9
4
）∪（-
9
4
，-1） D．（-
5
2
，-1）
组卷：385引用：13难度：0.7
解析
6．已知函数f（x）=
x
2
+
（
4
a
-
3
）
x
+
3
a
,
x
＜
0
lo
g
a
（
x
+
1
）
+
1
，
x
≥
0
（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（0，
2
3
] B．[
2
3
，
3
4
] C．[
1
3
，
2
3
]∪{
3
4
} D．[
1
3
，
2
3
）∪{
3
4
}
组卷：5382引用：45难度：0.7
解析
7．在平面内，定点A，B，C，D满足
|
DA
|
=
|
DB
|
=
|
DC
|
，
DA
•
DB
=
DB
•
DC
=
DC
•
DA
=-2，动点P，M满足
|
AP
|
=1，
PM
=
MC
，则|
BM
|²的最大值是（　　）
A．
43
4
B．
49
4
C．
37
+
6
3
4
D．
37
+
2
33
4
组卷：3685引用：15难度：0.5
解析

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三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左、右焦点分别是F₁，F₂离心率为
3
2
，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁，PF₂，设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m,0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，若k≠0，试证明
1
k
k
1
+
1
k
k
2
为定值，并求出这个定值．
组卷：2205引用：16难度：0.1
解析
22．已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4对任意的n∈N^*恒成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式
λ
（
1
-
1
a
1
）
（
1
-
1
a
2
）
…
（
1
-
1
a
n
）
cos
a
n
+
1
π
2
＜
1
a
n
+
1
对一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{c_n}，满足c₃₉=a₁₀₀₇，且存在正整数k,使c₁，c₃₉，c_k成等比数列，若数列{c_n}的公差为d,求d的所有可能取值之和．
组卷：202引用：2难度：0.1
解析

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A．①和②均为真命题	B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题	D．①为假命题，②为真命题

A．（- 5 2 ，- 9 4 ）	B．（- 9 4 ，-1）
C．（- 5 2 ，- 9 4 ）∪（- 9 4 ，-1）	D．（- 5 2 ，-1）

2015-2016学年湖南省名校联盟实验班高二（下）入学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

2．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得aman=4a1，则1m+4n的最小值为（ ）

3．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域x-2≤0x+y≥0x-3y+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（ ）

4．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA•OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）

5．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=54sin（π2x）（0≤x≤1）（14）x+1（x＞1）若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0（a,b∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）

6．已知函数f（x）=x2+（4a-3）x+3a,x＜0loga（x+1）+1，x≥0（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）

7．在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|，DA•DB=DB•DC=DC•DA=-2，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是（ ）

三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

2．已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得
a
m
a
n
=4a₁，则
1
m
+
4
n
的最小值为（　　）

3．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域
x
-
2
≤
0
x
+
y
≥
0
x
-
3
y
+
4
≥
0
中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（　　）

4．已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
OA
•
OB
=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）

5．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=
5
4
sin
（
π
2
x
）
（
0
≤
x
≤
1
）
（
1
4
）
x
+
1
（
x
＞
1
）
若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a,b∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

6．已知函数f（x）=
x
2
+
（
4
a
-
3
）
x
+
3
a
,
x
＜
0
lo
g
a
（
x
+
1
）
+
1
，
x
≥
0
（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）

7．在平面内，定点A，B，C，D满足
|
DA
|
=
|
DB
|
=
|
DC
|
，
DA
•
DB
=
DB
•
DC
=
DC
•
DA
=-2，动点P，M满足
|
AP
|
=1，
PM
=
MC
，则|
BM
|²的最大值是（　　）