2022-2023学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

• 1．若复数z满足（z+1）（2-i）=5i,则复数z的虚部是（　　）

  A．-2

  B．-2i

  C．2

  D．2i
  组卷：71引用：4难度：0.7

  解析

• 2．已知空间中不过同一点的三条直线a,b,l,则“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：68引用：8难度：0.8

  解析

• 3．若曲线y=lnx+x²+1在点（1，2）处的切线与直线x+ay-1=0垂直，则实数a的值为（　　）

  A．-4

  B．-3

  C．4

  D．3
  组卷：310引用：14难度：0.6

  解析

• 4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（　　）

  A．若m∥α，m∥β，则α∥β	B．若m∥α，n∥α，则m∥n
  C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n	D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
  组卷：71引用：6难度：0.8

  解析

• 5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n．若a₁=2，S_n+1=S_n+a_n+4，则S₂₀=（　　）

  A．78

  B．400

  C．800

  D．880
  组卷：157引用：3难度：0.6

  解析

• 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p+2是素数，素数对（p,p+2）称为孪生素数．从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（　　）

  A． 1 3

  B． 1 4

  C． 1 5

  D． 1 6
  组卷：260引用：9难度：0.8

  解析

• 7．设经过点F（1，0）的直线与抛物线y²=4x相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=（　　）

  A．6

  B．8

  C．10

  D．12
  组卷：158引用：2难度：0.5

  解析

• 8．若椭圆

  x

  2

  +

  y

  2

  a

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  2

  2

  ，则a的值为（　　）

  A．2

  B． 1 2

  C．2或 2 2

  D．2或 1 2
  组卷：906引用：7难度：0.8

  解析

三、解答题：（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

• 23．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
  （1）记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l平面PAC的位置关系，并加以证明；
  （2）设PC=2AB=4，求二面角E-l-C大小的取值范围．
  组卷：168引用：4难度：0.4

  解析

• 24．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  +

  1

  -

  2

  a

  -

  x

  +

  a

  x

  有两个不同的极值点x₁，x₂．
  （1）求a的取值范围．
  （2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．
  （3）若

  m

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  2

  ）

  ，

  n

  ∈

  （

  1

  2

  ，

  +

  ∞

  ）

  ，则f（m）-f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．
  组卷：120引用：4难度：0.4

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