2023-2024学年江西省南昌一中高二（上）第一次月考数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为（　　）

  A．[1，+∞）	B．（-∞，-1]
  C．[-1，1]	D．[1，+∞）∪（-∞，-1]
  组卷：108引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知直线l的一个方向向量为（2，-1），且经过点A（1，0），则直线l的方程为（　　）

  A．x-y-1=0

  B．x+y-1=0

  C．x-2y-1=0

  D．x+2y-1=0
  组卷：638引用：6难度：0.7

  解析

• 3．已知直线l₁：（3+2λ）x+（4+λ）y+（-2+2λ）=0（λ∈R），l₂：x+y-2=0，若l₁∥l₂，则l₁与l₂间的距离为（　　）

  A． 2 2

  B． 2

  C．2

  D．2 2
  组卷：525引用：3难度：0.7

  解析

• 4．若直线kx-y+2k-1=0恒过点A，点A也在直线mx+ny+2=0上，其中m,n均为正数，则mn的最大值为（　　）

  A． 1 4

  B． 1 2

  C．1

  D．2
  组卷：255引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知实数x,y满足3x-4y-6=0，则

  x

  2

  +

  y

  2

  -

  2

  y

  +

  1

  的最小值为（　　）

  A．2

  B． 3 5

  C． 2 5

  D． 9 5
  组卷：52引用：3难度：0.8

  解析

• 6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若

  DE

  =

  x

  AB

  +

  y

  AC

  +

  z

  AP

  ，则x+y+z=（　　）

  A．1

  B．2

  C． 1 3

  D． 5 3
  组卷：1312引用：34难度：0.7

  解析

• 7．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，AB=3，P为线段BD上的动点，当直线AP与平面AB₁D₁所成角的正弦值取最大值时，

  DP

  DB

  =（　　）

  A． 1 2

  B． 1 3

  C． 2 5

  D． 4 13
  组卷：32引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．

• 21．图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D=90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE=60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C₁的位置，且AC₁=

  6

  ．
  （1）求证：平面BC₁E⊥平面ABED；
  （2）在棱DC₁上是否存在点P，使得点P到平面ABC₁的距离为

  15

  5

  ？若存在，求出直线EP与平面ABC₁所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
  组卷：508引用：18难度：0.6

  解析

• 22．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB，CD为两条互相垂直的直径，Q是底面圆周上的动点（异于A，B），且C，Q在直径AB的两侧．已知PO=OB=1．
  （1）若

  ∠

  QOB

  =

  π

  4

  ，求证：PQ⊥AC；
  （2）若在线段PQ上存在点T（异于P，Q），使得BT∥平面PAC，求∠QOB的取值范围．
  组卷：32引用：2难度：0.5

  解析