2023-2024学年北京五十七中高三（上）开学数学试卷

一．选择题，每题4分，共计40分。

• 1．已知集合A={x|

  x

  +

  1

  4

  -

  x

  ≥0，x∈N}，B={0，1，2，3，4}，则（　　）

  A．A=B

  B．A⊈B

  C．B⊈A

  D．A∩B=B
  组卷：92引用：3难度：0.8

  解析

• 2．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点

  （

  -

  3

  3

  ，

  6

  3

  ）

  ，则

  cos

  （

  π

  2

  +

  α

  ）

  =（　　）

  A． - 3 3

  B． 3 3

  C． - 6 3

  D． 6 3
  组卷：228引用：3难度：0.7

  解析

• 3．下列函数中，与函数y=

  x

  2

  3

  的奇偶性相同，且在（0，+∞）上有相同单调性的是（　　）

  A．y=x|x|

  B．y=2-|x+1|

  C．y= log 1 2 |x|

  D．y=ex+e-x
  组卷：72引用：3难度：0.6

  解析

• 4．函数f（x）=sin2x•tanx是（　　）

  A．奇函数，且最小值为0	B．奇函数，且最大值为2
  C．偶函数，且最小值为0	D．偶函数，且最大值为2
  组卷：701引用：5难度：0.7

  解析

• 5．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（km/s）和燃料的质量M（kg）以及火箭（除燃料外）的质量N（kg）间的关系为

  v

  =

  2

  ln

  （

  1

  +

  M

  N

  ）

  ．若火箭的最大速度为12km/s,则下列各数中与

  M

  N

  最接近的是（　　）
  （参考数据：e=2.71828…）

  A．200

  B．400

  C．600

  D．800
  组卷：498引用：2难度：0.7

  解析

• 6．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a,b]，使f（x）在[a,b]上的值域是[2a,2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e^x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（　　）

  A． （ - 1 4 ， + ∞ ）

  B． （ - 1 2 ， 0 ）

  C．（-1，0）

  D． （ - 1 4 ， 0 ）
  组卷：296引用：5难度：0.5

  解析

• 7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为

  3

  ，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，

  AC

  •

  BP

  的最大值为（　　）

  A．18

  B．24

  C．36

  D．48
  组卷：1197引用：15难度：0.5

  解析

三.解答题：总分85分。

• 20．已知函数f（x）=aln（x-a）-

  1

  2

  x

  2

  +x（a＜0）．
  （1）求f（x）的单调区间；
  （2）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x₀，且a+1＜x₀＜a+2；
  （3）当a=-

  4

  5

  时，记函数f（x）的零点为x₀，若对任意x₁，x₂∈[0，x₀]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m成立，求实数m的最大值．（本题可参考数据：ln2≈0.7，ln

  9

  4

  ≈0.8，ln

  9

  5

  ≈0.59）
  组卷：54引用：4难度：0.3

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• 21．已知A_n：a₁，a₂，⋯，a_n（n≥4）为有穷数列．若对任意的i∈{0，1，⋯，n-1}，都有|a_i+1-a_i|≤1（规定a₀=a_n），则称A_n具有性质P．设T_n={（i,j）||a_i-a_j|≤1，2≤j-i≤n-2，（i,j=1，2，⋯，n）．
  （Ⅰ）判断数列A₄：1，0.1，-1.2，-0.5，A₅：1，2，2.5，1.5，2是否具有性质P？若具有性质P，写出对应的集合T_n；
  （Ⅱ）若A₄具有性质P，证明：T₄≠∅；
  （Ⅲ）给定正整数n,对所有具有性质P的数列A_n，求T_n中元素个数的最小值．
  组卷：98引用：3难度：0.3

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