2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合M={-1，0，1，2，3}，N={x|2≤2^x≤8}则M∩N=（　　）

  A．{0，1}

  B．{1，2，3}

  C．{1，2}

  D．{-1，0，1，2，3}
  组卷：21引用：3难度：0.8

  解析

• 2．直线

  3

  x

  -

  3

  y

  -

  2

  =

  0

  的倾斜角α=（　　）

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  组卷：325引用：14难度：0.8

  解析

• 3．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若

  A

  1

  B

  1

  =

  a

  ，

  A

  1

  D

  1

  =

  b

  ，

  A

  1

  A

  =

  c

  ．则下列向量中与

  B

  1

  M

  相等的向量是（　　）

  A．- 1 2 a + 1 2 b + c

  B． 1 2 a + 1 2 b + c

  C． 1 2 a - 1 2 b + c

  D．- 1 2 a - 1 2 b + c
  组卷：1942引用：110难度：0.9

  解析

• 4．已知点A（2，-3），B（-3，-2），直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是（　　）

  A．（-∞，- 3 4 ]∪[4，+∞）	B．[- 3 4 ，4]
  C．（ 1 5 ，+∞）	D．[-4， 3 4 ]
  组卷：454引用：28难度：0.7

  解析

• 5．斜拉桥是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|P_iP_i+1|（i=1，2，3，⋯，9）均为4m,拉索下端相邻两个锚的间距|A_iA_i+1|（i=1，2，3，⋯，9）均为18m.最短拉索的锚P₁，A₁满足|OP₁|=84m,|OA₁|=78m,以B₁₀A₁₀所在直线为x轴，OP₁₀所在直线为y轴，则最长拉索B₁₀P₁₀所在直线的斜率为（　　）
  

  A． 1 3

  B． 1 2

  C． 42 39

  D． 62 129
  组卷：118引用：6难度：0.7

  解析

• 6．在棱长为1的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD₁B₁的距离为（　　）

  A． 3 6

  B． 1 2

  C． 2 4

  D． 1 3
  组卷：43引用：2难度：0.6

  解析

• 7．已知实数x,y满足曲线C的方程x²+y²-2x-2=0，则下列选项错误的是（　　）

  A．x2+y2的最大值是 4 + 2 3

  B． y + 1 x + 1 的最大值是 2 + 6

  C．|x-y+3|的最小值是 2 2 - 3

  D．过点 （ 0 ， 2 ） 作曲线C的切线，则切线方程为 x - 2 y + 2 = 0
  组卷：258引用：3难度：0.5

  解析

四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．在四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，AB⊥AD，BC⊥PA，AB=2AD=2CD=2，

  PA

  =

  6

  ，PC=2，E是PB上的点．
  （1）求证：PC⊥底面ABCD；
  （2）是否存在点E使得PA与平面EAC所成角的正弦值为

  2

  3

  ？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．
  组卷：127引用：4难度：0.6

  解析

• 22．在平面直角坐标系中，圆M是以

  A

  （

  1

  ，

  3

  ）

  ，

  B

  （

  3

  ，-

  3

  ）

  两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称．
  （1）求圆N的标准方程；
  （2）设C（0，1），D（0，4），过点C作直线l₁，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
  （i）过点C作与直线l₁垂直的直线l₂，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
  （ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
  组卷：44引用：1难度：0.5

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