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2023-2024学年湖南省长沙市周南中学高三（上）第二次段考数学试卷

发布：2024/8/21 16:0:1

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x∈Z|x²-3x-4≤0}，N={x|0＜x≤3}，则M∩N=（　　）
A．{-1，0，1，2，3} B．{1，2，3} C．（0，3] D．[-1，4]
组卷：666引用：7难度：0.8
解析
2．已知复数z₁，z₂是方程x²-2x+5=0的两个虚根，则|z₁-z₂|为（　　）
A．4 B．2 C．0 D．
5
组卷：29引用：2难度：0.7
解析
3．在△ABC中，M是AC边上一点，且
AM
=
2
MC
，若
BM
=
x
BA
+
y
BC
，则y的值为（　　）
A．
-
1
3
B．
1
3
C．
-
2
3
D．
2
3
组卷：186引用：4难度：0.8
解析
4．若数列{a_n}满足a₁=2，
a
n
+
1
=
1
+
a
n
1
-
a
n
，则a₂₀₂₄的值为（　　）
A．2 B．-3 C．
-
1
2
D．
1
3
组卷：223引用：4难度：0.8
解析
5．函数y=（x³-x）•3^|x|的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
组卷：355引用：8难度：0.8
解析
6．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则将菱形ABCD以其中一条边所在的直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积为（　　）
A．2π B．6π C．
4
3
π
D．8π
组卷：98引用：3难度：0.7
解析
7．已知
sin
（
α
-
π
6
）
+
cosα
=
3
5
，则
cos
（
2
α
+
π
3
）
=（　　）
A．
-
7
25
B．
7
25
C．
-
24
25
D．
24
25
组卷：1096引用：16难度：0.7
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．
（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到如表数据．

x 6 8 9 10 12

y 2 3 4 5 6

请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的线性回归方程
̂
y
=
̂
a
+
̂
b
x.
（2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为
2
5
，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为m,
1
4
，
2
3
，其中0＜m＜1，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时m的取值范围．
参考公式：
①线性相关系数r=
n
∑
i
=
1
x
i
y
i
-
n
x
•
y
（
n
∑
i
=
1
x
i
2
-
n
x
2
）
（
n
∑
i
=
1
y
i
2
-
n
y
2
）
，一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
②对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线方程
̂
y
=
̂
b
x
+
̂
a
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
̂
b
=
n
∑
i
=
1
x
i
y
i
-
n
x
•
y
n
∑
i
=
1
x
i
2
-
n
x
2
，
̂
a
=
y
-
̂
b
x
．
组卷：400引用：5难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=lnx-（m-1）x+1．
（1）若f（x）存在极值，求m的取值范围；
（2）若m=0，已知方程
f
（
x
e
ax
）
=
2
有两个不同的实根x₁，x₂，a∈R，证明：
x
1
+
x
2
＞
2
eln
1
a
．（其中e≈2.71828是自然对数的底数）
组卷：113引用：3难度：0.2
解析