2022-2023学年上海师大附中高二（下）期末数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

• 1．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  -

  1

  的定义域为

  ．
  组卷：169引用：3难度：0.7

  解析

• 2．如果弓形的弧所对的圆心角为

  π

  3

  ，弓形的弦长为4cm,则弓形的面积是

  cm²．
  组卷：46引用：1难度：0.7

  解析

• 3．已知集合A={x|x²-6x+8≤0}，B={x||x-3|＜2，x∈Z}，则A∩B=

  ．
  组卷：367引用：3难度：0.7

  解析

• 4．抛物线y=4x²的焦点坐标是

  ．
  组卷：730引用：95难度：0.7

  解析

• 5．已知集合M={y|y=3sinx,x∈R}，N={x||x|＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：238引用：4难度：0.8

  解析

• 6．某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x,y）如下表所示：
  

  x	3	4	6	7
  y	2.5	3	4	m

  根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为：

  ̂

  y

  =

  0

  .

  7

  x

  +

  a

  ．据此计算出在样本（4，3）处的残差为-0.15，则表中m的值为

  ．
  组卷：114引用：4难度：0.8

  解析

• 7．已知a＞0，x₁，x₂为方程x²+2x+a=0的两个实数根，则

  1

  x

  1

  +

  1

  x

  2

  的取值范围为

  ．
  组卷：106引用：7难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5小题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

• 20．已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
  （1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望和方差；
  （2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当n比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量Y～N（μ，σ²），令

  Z

  =

  Y

  -

  μ

  σ

  ，则Z～N（0，1）．当Z～N（0，1）时，对于任意实数a,记Φ（a）=P（Z＜a）．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布N（0，1）对应的概率值．例如当a=0.16时，由于0.16=0.1+0.06，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是Φ（0.16）的值．
  

  a	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
  0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
  0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
  0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
  0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6404	0.6443	0.6480	0.6517
  0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
  0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224

  ①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
  ②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
  组卷：78引用：1难度：0.6

  解析

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  ，A（0，b），B（0，-b）．椭圆C内部的一点

  T

  （

  t

  ,

  1

  2

  ）

  （t＞0），过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．
  （1）若椭圆C的离心率是

  3

  2

  ，求b的值；
  （2）设△BTM的面积是S₁，△ATN的面积是S₂，若

  S

  1

  S

  2

  =

  5

  ，b=1时，求t的值；
  （3）若点U（x_u，y_u），V（x_v，y_v）满足x_u＜x_v且y_u＞y_v，则称点U在点V的左上方．求证：当

  b

  ＞

  1

  2

  时，点N在点M的左上方．
  组卷：385引用：5难度：0.2

  解析