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2023-2024学年山东省青岛九中高二（上）期初数学试卷

发布：2024/8/11 1:0:1

一、单选题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知集合A={x|x²-2x＜0}，集合B={y|y=
2
-
x
}，则A∪B=（　　）
A．（0，+∞） B．[0，2） C．（-∞，2] D．[0，+∞）
组卷：60引用：5难度：0.7
解析
2．复数z的共轭复数为
z
，（1+i）z=2i（i为虚数单位），则
z
•
z
=（　　）
A．1 B．
2
C．2 D．4
组卷：61引用：2难度：0.8
解析
3．端午节是我国传统节日，记事件A=“甲端午节来宝鸡旅游”，记事件B=“乙端午节来宝鸡旅游”，且
P
（
A
）
=
1
3
，
P
（
B
）
=
3
4
，假定两人的行动相互之间没有影响，则P（A∪B）=（　　）
A．
5
6
B．
7
12
C．
3
4
D．
1
4
组卷：137引用：3难度：0.7
解析
4．函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+bx-2，且f（-1）=2，则f（2）的值为（　　）
A．-6 B．-4 C．-2 D．0
组卷：45引用：3难度：0.8
解析
5．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（　　）
A．3 B．4 C．6（
3
-1） D．3（
3
+1）
组卷：248引用：7难度：0.5
解析
6．在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若
AB
•
AC
=
-
1
，AB=2AC=2，则
CE
•
AF
的值为（　　）
A．
3
4
B．
3
8
C．
1
8
D．
1
4
组卷：67引用：3难度：0.9
解析
7．如图：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为DD₁的中点，过点D作正方体截面使其与平面A₁EC₁平行，则该截面的面积为（　　）
A．
2
3
B．
2
6
C．
4
6
D．
4
3
组卷：307引用：6难度：0.8
解析

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四、解答题。（本大题共6小题，共计70分。请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D-PN-C的正切值为2．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明：DM⊥PC；
（3）求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．
组卷：434引用：10难度：0.5
解析
22．某公园有一块矩形空地ABCD，其中AB⊥BC，
AB
=
3
百米，BC=2百米．为迎接“五一”观光游，欲从边界AD上的中点P处开始修建观赏小径PM，PN，MN，其中M，N分别在边界AB，CD上，小径PM与PN相互垂直，区域PMA和区域PND内种植绣球花，区域PMN内种植玫瑰花，区域BMNC内种植杜鹃花．设∠APM=α．
（1）设种植绣球花的区域的面积为S，试将S表示为关于α的函数，并求其取值范围；
（2）为了节省建造成本，公园负责人要求观赏小径的长度之和（即△PMN的周长l）最小．试分析当α为何值时，△PMN的周长l最小，并求出其最小值．
组卷：67引用：4难度：0.6
解析