2023-2024学年百师联盟高三（上）开学摸底数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={1，2，3，4}，

  B

  =

  {

  x

  |

  1

  x

  ≤

  1

  2

  }

  ，则A∩B=（　　）

  A．{1}

  B．{3，4}

  C．{2，3，4}

  D．{1，2，3，4}
  组卷：113引用：6难度：0.7

  解析

• 2．已知cosα+

  3

  sinα

  =

  8

  5

  ，则

  cos

  （

  α

  -

  π

  3

  ）

  =（　　）

  A． 3 5

  B． 4 5

  C． - 3 5

  D． - 4 5
  组卷：682引用：10难度：0.9

  解析

• 3．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  xsinx

  e

  x

  +

  e

  -

  x

  （e为自然对数的底数）在[-2，2]的大致图象是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：247引用：12难度：0.8

  解析

• 4．已知椭圆

  x

  2

  10

  -

  t

  +

  y

  2

  t

  -

  4

  =

  1

  的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（　　）

  A． 5 5

  B． 2 5 5

  C． 1 2

  D． 3 3
  组卷：967引用：9难度：0.7

  解析

• 5．已知数列{a_n}和{b_n}均为等差数列，数列{a_n}的前n项和为S_n，若

  a

  n

  b

  n

  为定值，S₅=45，b₃=6，b₇=14，则a₅=（　　）

  A．15

  B．56

  C．72

  D．104
  组卷：264引用：4难度：0.7

  解析

• 6．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为

  36

  ×

  （

  1

  -

  1

  3

  ）

  =

  24

  ，能发出第三个基准音的乐器的长度为

  24

  ×

  （

  1

  +

  1

  3

  ）

  =

  32

  ，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{a_n}用来研究数据的变化，已知a₈=192，则a₅=（　　）

  A．324

  B．297

  C．256

  D．168
  组卷：95引用：10难度：0.8

  解析

• 7．某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（　　）

  A． 21 64

  B． 9 64

  C． 15 16

  D． 15 32
  组卷：73引用：5难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知函数f（x）=x²-mxlnx+1，m∈R且m≠0．
  （1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
  （2）若关于x的不等式f（x）≥

  2

  e

  x恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围．
  组卷：59引用：3难度：0.3

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• 22．已知点F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，点P（2，1），Q（0，1），且|PF|=|QF|．
  （1）求抛物线C的标准方程；
  （2）若斜率存在的直线l过点P且交抛物线C于M，N两点，若直线MF，NF交抛物线于A，B两点（M、N与A、B不重合），求证：直线AB过定点．
  组卷：37引用：1难度：0.5

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