2023-2024学年北京市海淀区育英学校高三（上）月考数学试卷（一）

一、选择题。（每小题4分，共40分）

• 1．已知集合A={0，a}，B={x|-1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  组卷：472引用：8难度：0.9

  解析

• 2．（

  1

  x

  -x）¹⁰的展开式中x⁴的系数是（　　）

  A．-210

  B．-120

  C．120

  D．210
  组卷：587引用：11难度：0.8

  解析

• 3．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆

  x

  2

  5

  +y²=1有相等的焦距，则C的方程为（　　）

  A． x 2 3 -y2=1

  B． x 2 9 - y 2 3 =1

  C．x2- y 2 3 =1

  D． x 2 3 - y 2 9 =1
  组卷：306引用：3难度：0.9

  解析

• 4．已知a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（　　）

  A． 1 a ＜ 1 b

  B．b2＜a2

  C． b a ＞ 1

  D． - a ＜ - b
  组卷：20引用：3难度：0.7

  解析

• 5．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  πx

  2

  x

  2

  +

  1

  -

  1

  2

  x

  的零点个数为（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．4
  组卷：120引用：3难度：0.5

  解析

• 6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4

  2

  ，|DE|=2

  5

  ，则C的焦点到准线的距离为（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：8031引用：25难度：0.7

  解析

• 7．已知

  i

  ，

  j

  ，

  k

  表示共面的三个单位向量，

  i

  ⊥

  j

  ，那么（

  i

  +

  k

  ）•（

  j

  +

  k

  ）的取值范围是（　　）

  A．[-3，3]

  B．[-2，2]

  C．[ 2 -1， 2 +1]

  D．[1- 2 ，1+ 2 ]
  组卷：544引用：5难度：0.5

  解析

三、简答题。（共85分）

• 20．已知函数f（x）=

  1

  4

  x³-x²+x.
  （Ⅰ）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
  （Ⅱ）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
  （Ⅲ）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．
  组卷：4534引用：9难度：0.5

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• 21．给定数列{a_n}，若满足a₁=a（a＞0且a≠1），对于任意的n,m∈N^*，都有a_n+m=a_n•a_m，则称数列{a_n}为“指数型数列”．
  （Ⅰ）已知数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别为a_n=5×3^n-1，b_n=4ⁿ，试判断{a_n}，{b_n}是不是“指数型数列”；
  （Ⅱ）若数列{a_n}满足：a₁=

  1

  2

  ，a_n=2a_na_n+1+3a_n+1（n∈N*），判断数列{

  1

  a

  n

  +1}是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
  （Ⅲ）若数列{a_n}是“指数型数列”，且a₁=

  a

  +

  1

  a

  +

  2

  （a∈N*），证明：数列{a_n}中任意三项都不能构成等差数列．
  组卷：171引用：3难度：0.9

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