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2022-2023学年湖南省常德一中高二（下）期中数学试卷

发布：2024/4/23 12:26:7

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1．已知直线l的一个方向向量为
m
=
（
-
2
，-
8
，
1
）
，平面α的一个法向量为
n
=
（
x
,
1
2
，
2
）
，若l∥平面α，则x=（　　）
A．-8 B．8 C．-1 D．1
组卷：32引用：3难度：0.7
解析
2．以点A（1，-2），B（3，4）为直径端点的圆的方程是（　　）
A．（x-2）²+（y+1）²=10 B．（x-2）²+（y-1）²=
10
C．（x-2）²+（y+1）²=
10
D．（x-2）²+（y-1）²=10
组卷：1569引用：10难度：0.9
解析
3．已知直线mx-2y+m+1=0与8x-my+10=0互相平行，则m=（　　）
A．2 B．-2 C．-4 D．4
组卷：31引用：3难度：0.8
解析
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E是DP的中点．已知
DA
=
a
，
DC
=
b
，
DP
=
c
，则
BE
=（　　）
A．
a
+
b
+
1
2
c
B．
-
a
-
b
+
1
2
c
C．
a
-
b
+
1
2
c
D．
-
a
+
b
+
1
2
c
组卷：320引用：6难度：0.7
解析
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点B到直线AC₁的距离为（　　）
A．
6
3
B．
6
6
C．
6
5
D．
2
6
3
组卷：566引用：6难度：0.9
解析
6．在椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
中，以点M（2，
3
2
）为中点的弦所在的直线方程为（　　）
A．3x+4y=0 B．3x-4y=0 C．3x+4y-12=0 D．3x-4y+12=0
组卷：298引用：1难度：0.6
解析
7．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，点P是C上任意一点，若圆O：x²+y²=b²上存在点M、N，使得∠MPN=120°，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．
（
0
，
3
2
]
B．
[
3
2
，
1
）
C．
（
0
，
1
2
]
D．
[
1
2
，
1
）
组卷：122引用：2难度：0.7
解析

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四、解答题（本题包括6小题，第17题10分，18—22题每题12分，共70分）

21．已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且
AM
=
1
3
AB
，
CN
=
1
3
CA
，沿MN将△AMN折起到△A'MN的位置，使∠A'MB=90°．
（1）求证：A'M⊥平面MBCN；
（2）在线段BC上是否存在点D，使平面A'ND与平面A'MB所成锐二面角的余弦值为
39
13
？若存在，设
BD
=
λ
BC
（
λ
＞
0
）
，求λ的值；若不存在，说明理由．
组卷：200引用：5难度：0.4
解析
22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，动直线l：y=k₁x-
3
2
交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k₂，且k₁k₂=
2
4
，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
组卷：3594引用：5难度：0.1
解析

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A．（x-2）²+（y+1）²=10	B．（x-2）²+（y-1）²= 10
C．（x-2）²+（y+1）²= 10	D．（x-2）²+（y-1）²=10

2022-2023学年湖南省常德一中高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1．已知直线l的一个方向向量为m=（-2，-8，1），平面α的一个法向量为n=（x,12，2），若l∥平面α，则x=（ ）

2．以点A（1，-2），B（3，4）为直径端点的圆的方程是（ ）

3．已知直线mx-2y+m+1=0与8x-my+10=0互相平行，则m=（ ）

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E是DP的中点．已知DA=a，DC=b，DP=c，则BE=（ ）

5．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点B到直线AC1的距离为（ ）

6．在椭圆x216+y29=1（a＞b＞0）中，以点M（2，32）为中点的弦所在的直线方程为（ ）

7．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），点P是C上任意一点，若圆O：x2+y2=b2上存在点M、N，使得∠MPN=120°，则C的离心率的取值范围是（ ）

四、解答题（本题包括6小题，第17题10分，18—22题每题12分，共70分）

1．已知直线l的一个方向向量为
m
=
（
-
2
，-
8
，
1
）
，平面α的一个法向量为
n
=
（
x
,
1
2
，
2
）
，若l∥平面α，则x=（　　）

2．以点A（1，-2），B（3，4）为直径端点的圆的方程是（　　）

3．已知直线mx-2y+m+1=0与8x-my+10=0互相平行，则m=（　　）

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E是DP的中点．已知
DA
=
a
，
DC
=
b
，
DP
=
c
，则
BE
=（　　）

5．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点B到直线AC₁的距离为（　　）

6．在椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
中，以点M（2，
3
2
）为中点的弦所在的直线方程为（　　）

7．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，点P是C上任意一点，若圆O：x²+y²=b²上存在点M、N，使得∠MPN=120°，则C的离心率的取值范围是（　　）