2022-2023学年黑龙江省哈尔滨一中高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知i是虚数单位，复数z=

  2

  i

  1

  -

  i

  ，则复数z的虚部为（　　）

  A．i

  B．-i

  C．1

  D．-1
  组卷：134引用：6难度：0.8

  解析

• 2．已知a,b,c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

  A．若a∥b,b⊂α，则a∥α

  B．若a⊂α，b⊂β，a∥b,则α∥β

  C．若α∥β，a∥α，则a∥β

  D．若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c
  组卷：504引用：11难度：0.7

  解析

• 3．若平面向量

  a

  与

  b

  的夹角为60°，

  a

  =

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，

  |

  b

  |

  =

  1

  ，则

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  等于（　　）

  A． 3

  B． 2 3

  C．4

  D．12
  组卷：1299引用：24难度：0.7

  解析

• 4．已知向量

  a

  =（cosα，3），

  b

  =（sinα，-4），

  a

  ∥

  b

  ，则

  3

  sinα

  +

  cosα

  2

  cosα

  -

  3

  sinα

  的值是（　　）

  A．- 1 2

  B．-2

  C．- 4 3

  D． 1 2
  组卷：537引用：7难度：0.8

  解析

• 5．已矨A，B，C均在球O的球面上运动，且满足

  ∠

  AOB

  =

  π

  3

  ，若三棱锥O-ABC体积的最大值为6，则球O的体积为（　　）

  A．12π

  B．48π

  C． 32 3 π

  D． 64 3 π
  组卷：43引用：2难度：0.6

  解析

• 6．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，AB=3，E，F分别为棱AA₁，CC₁的中点，过BF的平面α与直线C₁E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（　　）

  A．3

  B． 3 2

  C． 3 3

  D． 3 5
  组卷：550引用：3难度：0.6

  解析

• 7．圣•索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为（

  15

  3

  -

  15

  ）m,在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（　　）
  

  A．20m

  B．30m

  C． 20 3 m

  D． 30 3 m
  组卷：360引用：21难度：0.7

  解析

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．某公园有一块三角形空地，如图，在△ABC中，

  AB

  =

  AC

  =

  100

  3

  ，∠BAC=120°，为了增加公园的观赏性，公园管理人员拟在△ABC中间挖出一个池塘AEF用来放养观赏鱼，E，F在边BC上，且∠EAF=60°．
  （1）若BE=100，求EF的长；
  （2）为节省投入资金，池塘△AEF的面积需要尽可能的小，记∠EAB=θ，试确定θ为何值时，池塘的面积最小．
  组卷：68引用：4难度：0.6

  解析

• 22．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若ccosB+bcosC=2acosA．
  （1）求角A的大小；
  （2）求

  1

  tan

  B

  +

  1

  tan

  C

  的取值范围．
  组卷：44引用：2难度：0.5

  解析