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2023-2024学年河南省焦作市博爱一中高二（上）第一次半月考数学试卷

发布：2025/11/24 16:1:2

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，则圆C被y轴所截得弦长为（　　）
A．4 B．
4
3
C．
4
6
D．8
组卷：109引用：2难度：0.7
2．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m,则水面宽度为（　　）
A．
2
6
m B．
4
6
m C．
4
2
m D．12 m
组卷：759引用：5难度：0.8
3．已知椭圆
x
2
a
2
1
+
y
2
b
2
1
=1（a₁＞b₁＞0）的离心率为
2
2
，双曲线
x
2
a
2
2
-
y
2
b
2
2
=1（a₂＞0，b₂＞0）与椭圆有相同的焦点F₁，F₂，M是两曲线的一个公共点，若∠F₁MF₂=60°，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y=±
2
2
x B．y=±x C．y=±
2
x D．y=±
3
x
组卷：184引用：6难度：0.7
4．如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（　　）
A．
2
10
B．6 C．
3
3
D．
2
5
组卷：815引用：10难度：0.5
5．过点P（2，-2）且平行于直线2x+y+1=0的直线方程为（　　）
A．2x+y-2=0 B．2x-y-2=0 C．2x+y-6=0 D．2x+y+2=0
组卷：2146引用：3难度：0.8
6．已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的长轴长为4，焦距为2，则（　　）
A．a=4 B．a=1 C．
b
=
2
3
D．
b
=
3
组卷：88引用：1难度：0.7
7．已知第一象限内的点M既在双曲线
C
1
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的渐近线上，又在抛物线
C
2
：
y
2
=
2
px
（
p
＞
0
）
上，设C₁的左、右焦点分别为F₁，F₂，若C₂的焦点为F₂，且△MF₁F₂是以MF₁为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B．
5
C．
1
+
2
D．
2
+
3
组卷：717引用：5难度：0.7
8．已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A．（-1，1） B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）
组卷：2195引用：23难度：0.9

二、多选题（每小题5分，共4小题20分）

9．已知点P（1，a）（a＞1）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，过P作圆（x-1）²+y²=1的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为-1，若F为C的焦点，M（x,y）为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（　　）
A．p=1 B．p=2
C．
|
MN
|
|
MF
|
的最大值是
2
D．
|
MN
|
|
MF
|
的最大值是
3
2
组卷：159引用：3难度：0.2

10．下列说法错误的是（　　）

A．

（

，-

）

是直线x+y-3=0的一个单位方向向量

B．直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是

C．点A（2，1）到直线l：x-y+2=0的距离为

D．经过点P（3，4），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有2条

组卷：124引用：3难度：0.6

11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC满足AC=BC，顶点A（1，0），B（-1，2），且其“欧拉线”与圆M：（x-3）²+y²=r²相切，则下列结论正确的是（　　）

A．圆M上的点到原点的最大距离为3+

B．圆M上存在三个点到直线x-y-1=0的距离为

C．若点（x,y）在圆M上，则

的最小值是-

D．若圆M与圆x²+（y-a）²=2有公共点，则a∈[-3，3]

组卷：611引用：13难度：0.4

12．设点A（-2，3），B（3，2），则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是（　　）
A．-2 B．-1 C．3 D．4
组卷：57引用：5难度：0.8

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13．若圆C以椭圆
x
2
16
+
y
2
12
=
1
的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C的方程为
．
组卷：390引用：2难度：0.8
14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P（6，t）在抛物线C上，且|PF|=9，则p=
．
组卷：17引用：2难度：0.7
15．已知平面向量
a
=
（
m
,
2
）
，
b
=
（
1
，
m
）
，
（
a
+
b
）
•
a
=
|
b
|
2
，则实数m=
．
组卷：17引用：2难度：0.8
16．直线3x+4y+12=0在x轴上的截距为
．
组卷：55引用：2难度：0.8

四、解答题（第17题10分，第18，19、20、21、22题各12分，共6小题70分）

17．如图，圆C：（x-2）²+y²=1，点Q是圆C上任意一点，M是线段OQ的中点，试求点M的轨迹方程．
组卷：29引用：2难度：0.3
18．如图，已知椭圆
x
2
4
+
y
2
=
1
的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．
（1）当
|
AC
|
=
5
时，求cos∠POM；
（2）求|PQ|•|MN|的最大值．
组卷：139引用：3难度：0.5
19．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：
x
2
4
-
y
2
5
=
1
，A，B分别为I的左，右顶点．
（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；
（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；
（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使
MA
+2
MB
=
MN
成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．
组卷：408引用：2难度：0.5
20．已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），直线l₂：-4x+2y-1=0和l₃：x+y+3=0，且l₁与l₂间的距离是
5
2

（1）求a的值；
（2）求经过直线l₁与l₃的交点，且与点（1，3）距离为3的直线l的方程．
组卷：880引用：4难度：0.1
21．已知点M，N的坐标分别是（0，2）和（0，-2），点P是二次函数
y
=
1
8
x
2
的图象上的一个动点．
（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-2的位置关系，并说明理由；
（2）设直线PM与二次函数
y
=
1
8
x
2
的图象的另一个交点为Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM；
（3）过点P，Q分别作直线y=-2的垂线，垂足分别为H，R，取RH中点为E，求证：QE⊥PE．
组卷：12引用：1难度：0.1
22．已知直线l：y=k（x+2
2
）与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
组卷：692引用：17难度：0.5

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A．（-1，1）	B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．[-1，1]	D．（-∞，-1]∪[1，+∞）

A．p=1	B．p=2
C． \| MN \| \| MF \| 的最大值是 2	D． \| MN \| \| MF \| 的最大值是 3 2

2023-2024学年河南省焦作市博爱一中高二（上）第一次半月考数学试卷

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1．已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，则圆C被y轴所截得弦长为（ ）

2．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m,则水面宽度为（ ）

3．已知椭圆x2a21+y2b21=1（a1＞b1＞0）的离心率为22，双曲线x2a22-y2b22=1（a2＞0，b2＞0）与椭圆有相同的焦点F1，F2，M是两曲线的一个公共点，若∠F1MF2=60°，则双曲线的渐近线方程为（ ）

4．如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（ ）

5．过点P（2，-2）且平行于直线2x+y+1=0的直线方程为（ ）

6．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2，则（ ）

7．已知第一象限内的点M既在双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，又在抛物线C2：y2=2px（p＞0）上，设C1的左、右焦点分别为F1，F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）

8．已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）

二、多选题（每小题5分，共4小题20分）

9．已知点P（1，a）（a＞1）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，过P作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为-1，若F为C的焦点，M（x,y）为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（ ）

10．下列说法错误的是（ ）

12．设点A（-2，3），B（3，2），则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是（ ）

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13．若圆C以椭圆x216+y212=1的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C的方程为．

14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P（6，t）在抛物线C上，且|PF|=9，则p=．

15．已知平面向量a=（m,2），b=（1，m），（a+b）•a=|b|2，则实数m=．

16．直线3x+4y+12=0在x轴上的截距为 ．

四、解答题（第17题10分，第18，19、20、21、22题各12分，共6小题70分）

17．如图，圆C：（x-2）2+y2=1，点Q是圆C上任意一点，M是线段OQ的中点，试求点M的轨迹方程．

20．已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0），直线l2：-4x+2y-1=0和l3：x+y+3=0，且l1与l2间的距离是52（1）求a的值；（2）求经过直线l1与l3的交点，且与点（1，3）距离为3的直线l的方程．

22．已知直线l：y=k（x+22）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

1．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，则圆C被y轴所截得弦长为（　　）

2．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m,则水面宽度为（　　）

3．已知椭圆
x
2
a
2
1
+
y
2
b
2
1
=1（a₁＞b₁＞0）的离心率为
2
2
，双曲线
x
2
a
2
2
-
y
2
b
2
2
=1（a₂＞0，b₂＞0）与椭圆有相同的焦点F₁，F₂，M是两曲线的一个公共点，若∠F₁MF₂=60°，则双曲线的渐近线方程为（　　）

4．如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（　　）

5．过点P（2，-2）且平行于直线2x+y+1=0的直线方程为（　　）

6．已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的长轴长为4，焦距为2，则（　　）

8．已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

9．已知点P（1，a）（a＞1）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，过P作圆（x-1）²+y²=1的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为-1，若F为C的焦点，M（x,y）为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（　　）

10．下列说法错误的是（　　）

12．设点A（-2，3），B（3，2），则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点的是（　　）

13．若圆C以椭圆
x
2
16
+
y
2
12
=
1
的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C的方程为
．

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P（6，t）在抛物线C上，且|PF|=9，则p=
．

15．已知平面向量
a
=
（
m
,
2
）
，
b
=
（
1
，
m
）
，
（
a
+
b
）
•
a
=
|
b
|
2
，则实数m=
．

16．直线3x+4y+12=0在x轴上的截距为
．

17．如图，圆C：（x-2）²+y²=1，点Q是圆C上任意一点，M是线段OQ的中点，试求点M的轨迹方程．

20．已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），直线l₂：-4x+2y-1=0和l₃：x+y+3=0，且l₁与l₂间的距离是
5
2

（1）求a的值；
（2）求经过直线l₁与l₃的交点，且与点（1，3）距离为3的直线l的方程．

22．已知直线l：y=k（x+2
2
）与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．